Πρόοδος σε ισοσκελές

KARKAR · #1

: Πρόοδος σε ισοσκελές.png (12.41 KiB) Προβλήθηκε 128 φορές

Να κατασκευαστεί ισοσκελές τρίγωνο ABC

, στο οποίο αν η διάμεσος και ύψος

τέμνει τη διάμεσο

στο σημείο

και το ύψος

στο

, τα

MS , SP , PA

, να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου .

#2

KARKAR έγραψε: Πέμ Ιούλ 09, 2026 8:13 am Πρόοδος σε ισοσκελές.pngΝα κατασκευαστεί ισοσκελές τρίγωνο , στο οποίο αν η διάμεσος και ύψος τέμνει τη διάμεσο

στο σημείο και το ύψος στο , τα $MS , SP , PA$ , να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου .

Θέτω

SM=x, AM=m

και είναι

SP=\dfrac{m}{3}-x, AP=\dfrac{2m}{3}.

Από τη Γ.Π είναι:

{\left( {\dfrac{m}{3} - x} \right)^2} = x \cdot \dfrac{{2m}}{3} \Leftrightarrow {m^2} - 12mx + 9{x^2} = 0 \Leftrightarrow

\boxed{m=3(2+\sqrt 3)x}

: Πρόοδος σε ισοσκελές.png (9.65 KiB) Προβλήθηκε 87 φορές

Αλλά από την ομοιότητα των τριγώνων

BSM, ACM

έχω

\dfrac{x}{{a/2}} = \dfrac{{a/2}}{m} \Leftrightarrow x = \dfrac{{{a^2}}}{{4m}}\mathop \Rightarrow \limits^{(1)} 4{m^2} = 3{a^2}(2 + \sqrt 3 )

Είναι όμως,

4m^2=4b^2-a^2,

οπότε τελικά,

\boxed{b=\dfrac{a}{2} \sqrt{7+3\sqrt 3}}

STOPJOHN · #3

KARKAR έγραψε: Πέμ Ιούλ 09, 2026 8:13 am Πρόοδος σε ισοσκελές.pngΝα κατασκευαστεί ισοσκελές τρίγωνο , στο οποίο αν η διάμεσος και ύψος τέμνει τη διάμεσο

στο σημείο και το ύψος στο , τα $MS , SP , PA$ , να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου .

Εστω

PS=x,MS=y,SP^{2}=MS.PA\Rightarrow x^{2}=2y^{2}+2xy\Rightarrow x=(1+\sqrt{3})y,(1)

Από την ομοιότητα των τριγώνων

AMS,BSM\Rightarrow y=\dfrac{a^{2}}{2\sqrt{4b^{2}-a^{2}}},(2), (1) ,(2)\Rightarrow x=\dfrac{a^{2}(1+\sqrt{3})}{2\sqrt{4b^{2}-a^{2}}},(3), AMC,AM^{2}=9(x+y)^{2}=b^{2} -\dfrac{a^{2}}{4}, (2),(3)\Rightarrow a\sqrt{7+3\sqrt{3}}=2b

Πρόοδος σε ισοσκελές

Πρόοδος σε ισοσκελές

Re: Πρόοδος σε ισοσκελές

Re: Πρόοδος σε ισοσκελές

Μέλη σε σύνδεση