Με εκτίμηση

KARKAR · #1

Με αφορμή την άσκηση αυτή :

Δίνεται η συνάρτηση :

f(x)=(x^2+1)(2^x+2^{-x})-kx^2

.

Εκτιμήστε για ποιο k>0

, η συνάρτηση έχει ακριβώς δύο ρίζες .

#2

KARKAR έγραψε: Παρ Ιούλ 17, 2026 10:27 am Με αφορμή την άσκηση αυτή :

Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=(x^2+1)(2^x+2^{-x})-kx^2$ .

Εκτιμήστε για ποιο , η συνάρτηση έχει ακριβώς δύο ρίζες .

: εκτίμηση.png (41.38 KiB) Προβλήθηκε 50 φορές

.
Ισοδύναμα η

g(x)= \dfrac {(x^2+1)(2^x+2^{-x})}{x^2}=k

έχει ακριβώς δύο ρίζες. Mε λογισμικό διαπιστώνουμε ότι το γράφημα της

είναι συμμετρικό ως άνω, με κάποια ελάχιστη τιμή

. Αυτή είναι η ζητούμενη τιμή αφού η οριζόντια εφαπτομένη στα δύο ελάχιστα σημεία τέμνει το γράφημα της

σε ακριβως δύο σημεία, ενώ ψηλότερά της σε

ενώ χαμηλότερα σε κανένα.

Το ελάχιστο σύμφωνα με το λογισμικό συμβαίνει για

x\approx \pm 1,37

, και τότε η τιμή του ελάχιστου είναι το ζητούμενο

k\approx 4,55

Ομολογώ ότι δεν κατανοώ το νόημα της άσκησης διότι αν πάει να την λύση κανείς χωρίς λογισμικό, θα χρειαστεί να λύσει την εξίσωση f'(x)=0

που ισοδυναμεί με επίλυση της

\dfrac {2(2^x+2^{-x}) } {x^3} +\dfrac {1+x^2}{x^2}\cdot (2^x -2^{-x})\ln(2)=0

που φυσικά είναι απρόσιτη. Αν πάλι κάποιος πάει με λογισμικό, όπως έκανα, τότε η άσκηση είναι τετριμμένη (ιδίως για τον φάκελο υπυ Καθηγητή). Ή το ένα ή το άλλο, και ... ατυχήσμαμε.

Με εκτίμηση

Με εκτίμηση

Re: Με εκτίμηση

Μέλη σε σύνδεση