Πρώτα η κατασκευή , μετά οι υπολογισμοί

KARKAR · #1

: Πρώτα η κατασκευή , μετά οι υπολογισμοί.png (10.54 KiB) Προβλήθηκε 273 φορές

Στο τρίγωνο ABC

, να αχθεί τμήμα $SP\parallel BC$ , τέτοιο ώστε :

BS=PA =x

. Στην συνέχεια υπολογίστε

το τμήμα

συναρτήσει πλευρών του τριγώνου . Με δεδομένες τις b , c

, για ποια

, είναι :

BS=SP=PA

;

#2

KARKAR έγραψε: Πέμ Ιούλ 30, 2026 5:12 pm Πρώτα η κατασκευή , μετά οι υπολογισμοί.pngΣτο τρίγωνο , να αχθεί τμήμα $SP\parallel BC$ , τέτοιο ώστε : $BS=PA =x$ . Στην συνέχεια υπολογίστε

το τμήμα συναρτήσει πλευρών του τριγώνου . Με δεδομένες τις , για ποια , είναι : $BS=SP=PA$ ;

: Πρώτα.png (9.68 KiB) Προβλήθηκε 266 φορές

.
Από τα όμοια τρίγωνα ASP, ABC

έχουμε

\dfrac {AP}{AC}= \dfrac {AS}{AB}

. Δηλαδή

\dfrac {x}{b}= \dfrac {c-x}{c}

, άρα

\boxed {x= \dfrac {bc}{b+c}}

Αν ακόμη θέλουμε

AP=SP

, δηλαδή το τρίγωνο APS

να είναι ισοσκελές, τότε και το όμοιό του ABC

θα είναι ισοσκελές, δηλαδή

\boxed {a=b}

, ανεξάρτητα από το

.

#3

KARKAR έγραψε: Πέμ Ιούλ 30, 2026 5:12 pm Πρώτα η κατασκευή , μετά οι υπολογισμοί.pngΣτο τρίγωνο , να αχθεί τμήμα $SP\parallel BC$ , τέτοιο ώστε : $BS=PA =x$ . Στην συνέχεια υπολογίστε

το τμήμα συναρτήσει πλευρών του τριγώνου . Με δεδομένες τις , για ποια , είναι : $BS=SP=PA$ ;

Φέρνω τη διχοτόμο

και στη συνέχεια

DP||AB, PS||BC

και ολοκληρώνεται η κατασκευή.

: Πρώτα η κατασκευή.Κ.png (11.9 KiB) Προβλήθηκε 259 φορές

Από τα όμοια τρίγωνα ASP, ABC

εύκολα βρίσκω

\boxed{x=\frac{bc}{b+c}}

αν επιπλέον

SP=x,

τότε προφανώς $\boxed{a=b}$

Με πρόλαβε ο Μιχάλης. Το αφήνω για την κατασκευή.

#4

george visvikis έγραψε: Πέμ Ιούλ 30, 2026 5:47 pm Το αφήνω για την κατασκευή.

Πανέμορφη κατασκευή.

duamba · #5

KARKAR έγραψε: Πέμ Ιούλ 30, 2026 5:12 pm Στο τρίγωνο , να αχθεί τμήμα $SP\parallel BC$ , τέτοιο ώστε : $BS=PA =x$ . Στην συνέχεια υπολογίστε

το τμήμα συναρτήσει πλευρών του τριγώνου . Με δεδομένες τις , για ποια , είναι : $BS=SP=PA$ ;

: kataskevi.png (40.18 KiB) Προβλήθηκε 223 φορές

Για την κατασκευή επεξεργάστηκα λίγο τη διχοτόμο της Α όμως μου ξέφυγε η ταχύτατη λύση του κ. Βισβίκη, βάζω μια μάλλον "περαστικότερη" που χρησιμοποιεί τη διάμεσο.

KARKAR · #6

: Δυσκολότερη.png (4.82 KiB) Προβλήθηκε 206 φορές

Ας το δυσκολέψουμε : Να αχθεί τμήμα $ST\parallel BC$ , έτσι ώστε : AT=2BS

. Στόχος να γίνει πρώτα

η κατασκευή και μετά ο υπολογισμός του

συναρτήσει των b , c

( μιας και η

δεν παίζει ρόλο ) .

#7

KARKAR έγραψε: Παρ Ιούλ 31, 2026 5:57 am Δυσκολότερη.pngΑς το δυσκολέψουμε : Να αχθεί τμήμα $ST\parallel BC$ , έτσι ώστε : . Στόχος να γίνει πρώτα

η κατασκευή και μετά ο υπολογισμός του συναρτήσει των ( μιας και η δεν παίζει ρόλο ) .

Για την κατασκευή.

: Πρώτα η κατασκευή.Κ2.png (11.24 KiB) Προβλήθηκε 199 φορές

Θεωρώ σημείο

της

ώστε

και σημείο

της

ώστε

BP=2PE.

Η

τέμνει την

στο

Φέρνω

QT||AB, TS||BC

και ολοκληρώνεται η κατασκευή.

H απόδειξη αφήνεται ως άσκηση. Αν δεν αποδειχθεί σε εύλογο χρονικό διάστημα, θα επανέλθω.

Γιώργος Μήτσιος · #8

Χαιρετώ!

george visvikis έγραψε: Παρ Ιούλ 31, 2026 9:13 am
KARKAR έγραψε: Παρ Ιούλ 31, 2026 5:57 am Δυσκολότερη.pngΑς το δυσκολέψουμε : Να αχθεί τμήμα $ST\parallel BC$ , έτσι ώστε : . Στόχος να γίνει πρώτα

η κατασκευή και μετά ο υπολογισμός του συναρτήσει των ( μιας και η δεν παίζει ρόλο ) .
Για την κατασκευή.

Θεωρώ σημείο της ώστε και σημείο της ώστε $BP=2PE.$

Η τέμνει την στο Φέρνω $QT||AB, TS||BC$ και ολοκληρώνεται η κατασκευή.

H απόδειξη αφήνεται ως άσκηση. Αν δεν αποδειχθεί σε εύλογο χρονικό διάστημα, θα επανέλθω.

Για την τελευταία απόδειξη αρκεί να δείξουμε

AT=2 QT

.

: 31-7 απόδειξη Γ.Β.png (16.2 KiB) Προβλήθηκε 176 φορές

Ο Μενέλαος στο τρίγωνο BEC

με διατέμνουσα APQ

μας δίνει

\dfrac{BP}{PE}\cdot \dfrac{EA}{AC}\cdot \dfrac{CQ}{QB}=1

Έχουμε

BP=2PE , EA=AB

, από $QT \parallel AB$ έπεται

\dfrac{CQ}{QB}=\dfrac{CT}{AT}

κι΄ από τα όμοια τρίγωνα

QTC ,BAC

είναι

\dfrac{TQ}{CT}=\dfrac{AB}{AC}

Με τις αντικαταστάσεις προκύπτει διαδοχικά :

2\dfrac{AB}{AC}\cdot \dfrac{CT}{AT}=1 \Leftrightarrow

2\dfrac{TQ}{CT}\cdot \dfrac{CT}{AT}=1 \Leftrightarrow AT=2 TQ

δηλ το ζητούμενο.

Φιλικά, Γιώργος.

#9

Ωραιότατες όλες οι παραπάνω κατασκευές. Αφού έγιναν, ας βρούμε και αλγεβρικά το

.

Η μέθοδος είναι ακριβώς η ίδια με του ποστ #2. Με βάση το εκεί σχήμα:

Από τα όμοια τρίγωνα ASP, ABC

έχουμε

\dfrac {AP}{AC}= \dfrac {AS}{AB}

. Δηλαδή

\dfrac {2x}{b}= \dfrac {c-x}{c}

, άρα

\boxed {x= \dfrac {bc}{b+2c}}

KARKAR · #10

Ωραίες γεωμετρικές στιγμές .

: Δυσκολότερη.png (11.68 KiB) Προβλήθηκε 120 φορές

Από τυχόν σημείο

της

, φέρω τμήμα $PQ \parallel AB$ και ίσο με

\dfrac{AP}{2}

. Η

τέμνει

την

στο σημείο

. Συμπληρώνοντας το παραλληλόγραμμο

BLTS

, βρίσκω τα S,T

.

Πρώτα η κατασκευή , μετά οι υπολογισμοί

Πρώτα η κατασκευή , μετά οι υπολογισμοί

Re: Πρώτα η κατασκευή , μετά οι υπολογισμοί

Re: Πρώτα η κατασκευή , μετά οι υπολογισμοί

Re: Πρώτα η κατασκευή , μετά οι υπολογισμοί

Re: Πρώτα η κατασκευή , μετά οι υπολογισμοί

Re: Πρώτα η κατασκευή , μετά οι υπολογισμοί

Re: Πρώτα η κατασκευή , μετά οι υπολογισμοί

Re: Πρώτα η κατασκευή , μετά οι υπολογισμοί

Re: Πρώτα η κατασκευή , μετά οι υπολογισμοί

Re: Πρώτα η κατασκευή , μετά οι υπολογισμοί

Μέλη σε σύνδεση