Ανοιχτή Μαθηματική Ολυμπιάδα ΦΜΛ 239 2025 (10-11η τάξη)

[Al.Koutsouridis]

Ανοιχτή Μαθηματική Ολυμπιάδα Φυσικομαθηματικού Λυκείου 239 Αγίας Πετρούπολης
Θέματα των τάξεων 10η και 11η για το έτος 2025.

1. Στο επίπεδο δίνονται σημεία, με όλες τις αποστάσεις μεταξύ τους ανά ζεύγος διαφορετικές. Υπάρχει άραγε πάντα τεθλασμένη με κορυφές αυτά τα σημεία, που διέρχεται από κάθε σημείο μια φορά, για την οποία τα μήκη των πλευρών της αυξάνονται μονότονα;

2. Θα ονομάσουμε την δύναμη του δυο συμπαγή, αν μπορεί να αναπαρασταθεί ως άθροισμα το πολύ όχι απαραίτητα διαφορετικών παραγοντικών μη μηδενικών φυσικών αριθμών. Να αποδείξετε ότι το σύνολο των συμπαγών δυνάμεων του δυο είναι πεπερασμένο.

3. Στο εσωτερικό κυρτού τετράπλευρου δίνεται σημείο , για το οποίο ισχύει και . Να αποδείξετε ότι αν η κάθετος από το σημείο προς την ευθεία διέρχεται από το σημείο τομής των διαγώνιων του τετράπλευρου , τότε .

4. Οι αριθμοί από το έως το είναι τοποθετημένοι με κάποια διάταξη στα κελιά μιας λωρίδας . Θα ονομάσουμε φλιπ μια πράξη, η οποία παίρνει δυο οποιαδήποτε κελιά της λωρίδας και αλλάζει θέση τους αριθμούς, που είναι γραμμένοι σε αυτά, αλλά μόνο στην περίπτωση που ο μεγαλύτερος αυτών των αριθμών βρίσκεται πιο αριστερά από τον μικρότερο. Φλοπ ονομάζεται μια συλλογή μερικών φλιπ, που δεν περιέχει κοινά κελιά, τα οποία εκτελούνται ταυτόχρονα (για παράδειγμα, ταυτόχρονη εκτέλεση φλιπ μεταξύ του δεύτερου και όγδοου κελιού και φλιπ μεταξύ πέμπτου και εκατοστού πρώτου κελιού). Να αποδείξετε ότι υπάρχει μια τέτοια ακολουθία από φλοπ, ώστε για οποιαδήποτε αρχική διάταξη των αριθμών η εφαρμογή αυτής της ακολουθίας φλοπ θα επιφέρει την αύξουσα διάταξη των αριθμών από αριστερά προς τα δεξιά.

5. Σε μια γραμμή στέκονται τέσσερεις ιππότες, ο καθένας τους βλέπει μόνον τους επόμενους στην γραμμή, δηλαδή ο πρώτος βλέπει τους άλλους τρεις, ο δεύτερος τον τρίτο και τον τέταρτο και ο τρίτος μόνο τον τέταρτο. Ο βασιλιάς έχει περικεφαλαίες, αριθμημένες με τους αριθμούς από το έως το , φοράει σε κάθε ιππότη μια περικεφαλαία και τις υπόλοιπες τις κρύβει. Μετά από αυτό κάθε ιππότης (με την σειρά, στην αρχή ο πρώτος, ύστερα ο δεύτερος κ.ο.κ) αναφωνεί ένα αριθμό, προσπαθώντας να μαντέψει τον αριθμό της περικεφαλαίας του. Οι αριθμοί που αναφωνούνται δεν πρέπει να επαναλαμβάνονται. Όταν όλοι οι ιππότες εκφραστούν, βγάζουν τις περικεφαλαίες και ελέγχουν ποιος από αυτούς μάντεψε σωστά. Μπορούν άραγε οι ιππότες να πράξουν έτσι, ώστε με σιγουριά να μαντέψουν σωστά τουλάχιστον τρεις από αυτούς;

6. Δίνεται ένας πραγματικός αριθμός . Να αποδείξετε ότι αν



για κάποιους ανά δυο διαφορετικούς μη μηδενικούς φυσικούς αριθμούς , τότε

.

7. Το σημείο είναι το μέσο της πλευράς ενός οξυγώνιου τριγώνου . Το σημείο είναι το συμμετρικό του ορθόκεντρου του τριγώνου ως προς το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του. Το σημείο εσωτερικό του τριγώνου είναι τέτοιο, ώστε . Να αποδείξετε, ότι

.

8. Δίνονται οι μη μηδενικοί φυσικοί αριθμοί και . Του Οδυσσέα του αρέσουν μερικά κελιά ενός τετραγωνισμένου πίνακα . Επιπλέον, τον ενδιαφέρει οποιοδήποτε τετραγωνισμένο ορθογώνιο με περίμετρο , το αριστερά πάνω γωνιακό κελί του οποίου συμπίπτει με το αριστερά πάνω γωνιακό κελί του πίνακα (σύνολο υπάρχουν τέτοια ορθογώνια). Για δοθέντα προσδιορίστε, άραγε πάντα ο Οδυσσέας θα μπορέσει να χωματίσει κάθε κελί, το οποίο του αρέσει, με ένα από χρώματα έτσι, ώστε σε οποιοδήποτε ορθογώνιο που τον ενδιαφέρει το σύνολο των κελιών οποιονδήποτε δυο χρωμάτων να διαφέρει το πολύ κατά .

[αρψ2400]

Ανοιχτή Μαθηματική Ολυμπιάδα Φυσικομαθηματικού Λυκείου 239 Αγίας Πετρούπολης
Θέματα των τάξεων 10η και 11η για το έτος 2025.

1. Στο επίπεδο δίνονται σημεία, με όλες τις αποστάσεις μεταξύ τους ανά ζεύγος διαφορετικές. Υπάρχει άραγε πάντα τεθλασμένη με κορυφές αυτά τα σημεία, που διέρχεται από κάθε σημείο μια φορά, για την οποία τα μήκη των πλευρών της αυξάνονται μονότονα;

Όχι.Ένα αντιπαράδειγμα είναι το εξής : Έστω τα σημεία στον άξονα x'x με τετμημένες .
Εξαιτίας της συνευθειακότητας των σημείων , για να μην περάσει η τεθλασμένη πάνω από το ίδιο σημείο δεύτερη φορά, οι μοναδικές δύο επιτρεπτές γεωμετρικές διαδρομές είναι να τα σαρώσουμε όλα με τη σειρά, είτε από αριστερά προς τα δεξιά, είτε από δεξιά προς τα αριστερά.Και στις δύο περιπτώσεις τα μήκη των πλευρών της δεν αυξάνονται μονότονα.
Για το ότι όλες οι αποστάσεις μεταξύ τους είναι ανά ζεύγος διαφορετικές ,για τις θετικές τετμημένες ελέγχουμε τα .Τότε ,και τελικά και .
Για τις αποστάσεις που περιλαμβάνουν το αρνητικό σημείο (της μορφής ):
Μια τέτοια απόσταση είναι προφανώς αδύνατον να ισούται με μια άλλη απόσταση της ίδιας μορφής αν . Επίσης, είναι αδύνατον να ισούται με απόσταση μεταξύ δύο θετικών σημείων, διότι η απόσταση που περιλαμβάνει το αρνητικό σημείο είναι αυστηρά μεγαλύτερη του , ενώ η μέγιστη δυνατή απόσταση μεταξύ δύο θετικών σημείων στο σύνολό μας είναι μικρότερη του .

[Al.Koutsouridis]

Όχι.Ένα αντιπαράδειγμα είναι το εξής : Έστω τα σημεία στον άξονα x'x με τετμημένες .
Εξαιτίας της συνευθειακότητας των σημείων , για να μην περάσει η τεθλασμένη πάνω από το ίδιο σημείο δεύτερη φορά, οι μοναδικές δύο επιτρεπτές γεωμετρικές διαδρομές είναι να τα σαρώσουμε όλα με τη σειρά, είτε από αριστερά προς τα δεξιά, είτε από δεξιά προς τα αριστερά.

Ενδιαφέρουσα κατασκευή, αλλά δεν εμπίπτει στον ορισμό της τεθλασμένης, όπου διαδοχικές πλευρές πρέπει να είναι μη συνευθειακές.

[αρψ2400]

Όχι.Ένα αντιπαράδειγμα είναι το εξής : Έστω τα σημεία στον άξονα x'x με τετμημένες .
Εξαιτίας της συνευθειακότητας των σημείων , για να μην περάσει η τεθλασμένη πάνω από το ίδιο σημείο δεύτερη φορά, οι μοναδικές δύο επιτρεπτές γεωμετρικές διαδρομές είναι να τα σαρώσουμε όλα με τη σειρά, είτε από αριστερά προς τα δεξιά, είτε από δεξιά προς τα αριστερά.

Ενδιαφέρουσα κατασκευή, αλλά δεν εμπίπτει στον ορισμό της τεθλασμένης, όπου διαδοχικές πλευρές πρέπει να είναι μη συνευθειακές.

Ναι άλλα και πάλι εμπίπτει στα αντιπαραδείγματα , χωρίς τη αιτιολόγηση: '' Εξαιτίας της συνευθειακότητας των σημείων , για να μην περάσει η τεθλασμένη πάνω από το ίδιο σημείο δεύτερη φορά, οι μοναδικές δύο επιτρεπτές γεωμετρικές διαδρομές είναι να τα σαρώσουμε όλα με τη σειρά, είτε από αριστερά προς τα δεξιά, είτε από δεξιά προς τα αριστερά.Και στις δύο περιπτώσεις τα μήκη των πλευρών της δεν αυξάνονται μονότονα '' αλλά με την αιτιολόγηση ΄΄αφού είναι συνευθειακά δεν υπάρχει τεθλασμένη με κορυφές αυτά τα σημεία''. Διαφορετικά πρέπει να μπει στην εκφώνηση ''όχι όλα στην ίδια ευθεία''.

[αρψ2400]

Με την προσθήκη στην εκφώνηση ''όχι όλα στην ίδια ευθεία'' .Έστω τα σημεία στον άξονα x'x με τετμημένες , και το σημείο . Τώρα όλα τα σημεία δεν είναι συνευθειακά και με εξέταση λίγων περιπτώσεων διαπιστώνει κανεις ότι είναι αντιπαράδειγμα.

Ορισμοί :
In geometry, a polygonal chain is a connected series of line segments. More formally, a polygonal chain is a curve specified by a sequence of points called its vertices. The curve itself consists of the line segments connecting the consecutive vertices.(wikipedia)
Αυτός είναι από το λίγο που έψαξα ο και τυπικός ορισμός σε εργασίες , πανεπιστημιακά συγγράμματα .
π.χ.
A polygonal chain in the Euclidean plane is specified by a sequence of points , called its vertices. The chain consists of line segments between consecutive vertices. We say is simple if only consecutive line segments intersect and they only intersect at their endpoints. (από https://adriandumitrescu.org/chain-dilation.pdf )

Από την άλλη , ΄΄Τεθλασμένη γραμμή είναι μια πολυγωνική γραμμή, που αποτελείται από διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα, τα οποία δε βρίσκονται στην ίδια ευθεία''.(τρέχον σχολικό βιβλίο μαθηματικών α΄ γυμνασίου). Όλα τα διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα ή τουλάχιστον δύο όπως λέει η ελληνική Βικιπαιδεία https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A4%CE ... %BC%CE%AE και καλύπτει το δεύτερο αντιπαράδειγμα ;

Εγώ στο θέμα που ανέβασα στο mathematica viewtopic.php?p=383224#p383224$ θεώρησα καλό να πώ τι εννοώ με τον όρο τεθλασμένη.

Τι γίνεται όταν στην εκφώνηση βάλουμε ΄΄ανά τρία μη συνευθειακά'';

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Όταν στην εκφώνηση βάλουμε ΄΄ανά τρία μη συνευθειακά'', τοποθετούμε από 25 σημεία (ανά τρία μη συνευθειακά) σε κάθε κυκλικό δίσκο στο ακόλουθο σχήμα .Έχουμε αντιπαράδειγμα και επανέρχομαι αν χρειαστεί εν ευθέτω χρόνω.Τα βέλη είναι για μελλοντική επιχειρηματολογία.