Τρίγωνο

mick7 · #1

Στο τρίγωνο ABC

, έστω

\widehat{A}=80^\circ

και

\widehat{B}=\widehat{C}=50^\circ

. Αν

και

, να αποδείξετε ότι:

3a^2b=b^3+\sqrt{3}a^3.

#2

mick7 έγραψε: Παρ Ιούλ 31, 2026 3:37 am Στο τρίγωνο , έστω $\widehat{A}=80^\circ$ και $\widehat{B}=\widehat{C}=50^\circ$ . Αν και , να αποδείξετε ότι:

$3a^2b=b^3+\sqrt{3}a^3.$

: Τριγ.png (10.33 KiB) Προβλήθηκε 201 φορές

.
Από τον τύπο

\sin3x=3\sin x-4\sin ^3x

και από το σχήμα έχουμε

\sin 40= \dfrac {BD}{AB}= \dfrac {b}{2a}

. 'Αρα

\dfrac {\sqrt 3}{2}= \sin 120= 3\sin 40-4 \sin ^340= 3 \left ( \dfrac {b}{2a}\right ) - 4 \left ( \dfrac {b}{2a}\right ) ^3

, από όπου αμέσως το ζητούμενο αφού πολλαπλασιάσουμε επί

2a^3

.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

mick7 έγραψε: Παρ Ιούλ 31, 2026 3:37 am Στο τρίγωνο , έστω $\widehat{A}=80^\circ$ και $\widehat{B}=\widehat{C}=50^\circ$ . Αν και , να αποδείξετε ότι:

$3a^2b=b^3+\sqrt{3}a^3.$

Ο κύκλος

τέμνει την

στο

κι έστω

Από την προφανή ομοιότητα των τριγώνων

DBC,ABC

έχουμε

\dfrac{DC}{BC} = \dfrac{BC}{AB} \Rightarrow \dfrac{x+b}{a}= \dfrac{a}{b} \Rightarrow x= \dfrac{a^2-b^2}{b} \Rightarrow x^2= \dfrac{a^4+b^4-2a^2b^2}{b^2} (1)

Ο ν.συνημιτόνου στο τρίγωνο ABD

δίνει

x^2=a^2+b^2-ab \sqrt{3}

Αντικαθιστώντας στην (1)

παίρνουμε εύκολα την ζητούμενη ισότητα

: Τρίγωνο.png (16.89 KiB) Προβλήθηκε 190 φορές

mick7 · #4

Βάζω την λύση που έχω

\cos\angle A=\frac{2a^2-b^2}{2a^2},\qquad \cos\angle B=\frac{a^2+b^2-a^2}{2ab}=\frac{b}{2a}

και

\Rightarrow\quad \sin\angle A= \frac{\sqrt{(2a^2)^2-(2a^2-b^2)^2}}{2a^2} =\frac{b\sqrt{4a^2-b^2}}{2a^2},\qquad \sin\angle B=\frac{\sqrt{4a^2-b^2}}{2a}

και

\cos30^\circ =\cos(\angle A-\angle B) =\cos\angle A\cos\angle B+\sin\angle A\sin\angle B

Τέλος

\frac{\sqrt3}{2} =\frac{2a^2b-b^3}{4a^3} +\frac{b(4a^2-b^2)}{4a^3} =\frac{3a^2b-b^3}{2a^3} \Rightarrow 3a^2b=b^3+a^3\sqrt3.

Τρίγωνο

Τρίγωνο

Re: Τρίγωνο

Re: Τρίγωνο

Re: Τρίγωνο

Μέλη σε σύνδεση