Γεωμετρικός τόπος του μέσου

#1

Στο παρακάτω σχήμα, το σημείο $\displaystyle{D}$ κινείται πάνω στο ημικύκλιο $\displaystyle{(c)}$ και η
ημιευθεία $\displaystyle{CD}$ τέμνει την εφαπτομένη του ημικυκλίου στο άκρο της διαμέτρου $\displaystyle{A}$
στο σημείο $\displaystyle{B}$ .
Να βρεθεί ο γ. τόπος του μέσου $\displaystyle{M}$ του τμήματος $\displaystyle{DB}$ .
(Η εύρεση του γ. τόπου σημαίνει να βρεθεί η εξίσωσή του)

: Γεωμετρικός τόπος μέσου 1.png (11.11 KiB) Προβλήθηκε 134 φορές

#2

KDORTSI έγραψε: Σάβ Αύγ 08, 2026 9:29 am Στο παρακάτω σχήμα, το σημείο $\displaystyle{D}$ κινείται πάνω στο ημικύκλιο $\displaystyle{(c)}$ και η
ημιευθεία $\displaystyle{CD}$ τέμνει την εφαπτομένη του ημικυκλίου στο άκρο της διαμέτρου $\displaystyle{A}$
στο σημείο $\displaystyle{B}$ .
Να βρεθεί ο γ. τόπος του μέσου $\displaystyle{M}$ του τμήματος $\displaystyle{DB}$ .
(Η εύρεση του γ. τόπου σημαίνει να βρεθεί η εξίσωσή του)

Γεωμετρικός τόπος μέσου 1.png

: Γεωμ τόπ.png (17.95 KiB) Προβλήθηκε 99 φορές

.
Mε αρχή των αξόνων το

έστω

D(p,q)

τυχαίο σημείο του ημικυκλίου. Είναι τότε από το ορθογώνιο τρίγωνο CDA

,

boxed {p^2=(5-q)q}

(*).

Έστω AB=a

, οπότε από τα όμοια τρίγωνα

CED, \, CAB

είναι

\dfrac {p}{a} = \dfrac {5-q}{5}

, οπότε

a=\dfrac {5p}{5-q}

. Έπεται ότι το μέσον M(x,y)

του

ικανοποιεί

(x,y)= \left ( \dfrac {p+a}{2}, \, \dfrac {q}{2}\right ) = \left ( \dfrac {p+\dfrac {5p}{5-q}}{2}, \, \dfrac {q}{2}\right ) =\left ( \dfrac {10p-pq}{2}, \, \dfrac {q}{2}\right )

, δηλαδή

x= \dfrac {10p-pq}{2}

και

y= \dfrac {q}{2}

. Λύνοντας θα βρούμε

p=\dfrac {x}{5-y}, \, q=2y

. Θέτοντας αυτά στην (*) θα βρούμε

\dfrac {x^2}{(5-y)^2}= 2y(5-2y)

, ή αλλιώς (επειδή $x\ge 0$ ) είναι

\boxed {x=(5-y)\sqrt {2y(5-2y)}}

Γεωμετρικός τόπος του μέσου

Γεωμετρικός τόπος του μέσου

Re: Γεωμετρικός τόπος του μέσου

Μέλη σε σύνδεση