Eμβαδόν τριγώνου

STOPJOHN · #1

Το

είναι ορθογώνιο και

PQ=QD,\hat{PQD}=120^{0},(APD)=30,(BPQ)=25

Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου QCD

#2

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

add2math · #3

: Εμβαδόν τριγώνου Stopjohn.jpg (43.29 KiB) Προβλήθηκε 267 φορές

Έστω

AC=x,AP=y,PB=z,BQ=f

. Από τα τρίγωνα

PAD,PBQ

έχουμε

\frac{xy}{2}=30,\frac{zf}{2}=25

, αντίστοιχα.
Έχουμε

(QCD)=\frac{(x-f)(y+z)}{2}=\frac{xy}{2}+\frac{xz-fy}{2}-\frac{zf}{2}=5+\frac{xz-fy}{2}

(*).
Έστω T,M

τα μέσα των

PD,AB

αντίστοιχα. Τότε εύκολα έχω

TM=z+\frac{y}{2},MQ=f-\frac{x}{2},TQ=\frac{PD}{2\sqrt{3}}

Αφού

\hat M=\hat A=90\degree, M\hat TQ=P\hat DA

(οξείες γωνίες με πλευρές κάθετες) έχουμε ότι

\triangle MTQ \sim \triangle ADP\Rightarrow \frac{x}{MT}=\frac{y}{MQ}=\frac{PD}{QT} \Rightarrow \frac{x}{z+\frac{y}{2}}=\frac{y}{f-\frac{x}{2}}=2\sqrt{3}

Άρα

\frac{x}{z+\frac{y}{2}}\cdot\frac{y}{f-\frac{x}{2}}=12\Rightarrow \frac{xy}{zf-\frac{xy}{4}-\frac{xz-fy}{2}}=12\Rightarrow\frac{60}{50-15-(QCD)+5}=12\Rightarrow \boxed{(QCD)=35}

Nikitas K. · #4

STOPJOHN έγραψε: Δευ Αύγ 10, 2026 6:48 am Το είναι ορθογώνιο και $PQ=QD,\hat{PQD}=120^{0},(APD)=30,(BPQ)=25$

Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου

Λήψη ggb

x^2 + \left(\frac{50}{x}\right)^2 = (2r)^2

y^2 + \left(\frac{60}{y}\right)^2 = (2r\sqrt{3})^2

\left(\frac{60}{y} - x\right)^2 + \left(\frac{50}{x} + y\right)^2 = (2r)^2

Άρα:

x \approx 11.1388 \land y \approx 2.91324 \land r \approx 6.00462 \land E = 35

Ιστοσελίδα · #5

STOPJOHN έγραψε: Δευ Αύγ 10, 2026 6:48 am Το είναι ορθογώνιο και $PQ=QD,\hat{PQD}=120^{0},(APD)=30,(BPQ)=25$

Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου

Μια λύση λίγο μεγάλη σε έκταση, αλλά με «αγνά» υλικά σε Γεωμετρία και Άλγεβρα…Φέρω το ισόπλευρο τρίγωνο EPD

και τα μέσα των πλευρών του K,M,N

. Η συνέχεια στο σχήμα…

: sol.png (128.25 KiB) Προβλήθηκε 188 φορές

#6

Μιχάλης Νάννος έγραψε: Παρ Αύγ 14, 2026 2:08 pm
STOPJOHN έγραψε: Δευ Αύγ 10, 2026 6:48 am Το είναι ορθογώνιο και $PQ=QD,\hat{PQD}=120^{0},(APD)=30,(BPQ)=25$

Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου
Μια λύση λίγο μεγάλη σε έκταση, αλλά με «αγνά» υλικά σε Γεωμετρία και Άλγεβρα…Φέρω το ισόπλευρο τρίγωνο και τα μέσα των πλευρών του . Η συνέχεια στο σχήμα…sol.png

#7

STOPJOHN έγραψε: Δευ Αύγ 10, 2026 6:48 am Το είναι ορθογώνιο και $PQ=QD,\hat{PQD}=120^{0},(APD)=30,(BPQ)=25$

Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου

Το

\boxed{\left( {QPD} \right) = {x^2}\sqrt 3 }

( εμβαδόν ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς

), ενώ

\boxed{PD = 2x\sqrt 3 }

Από το

\vartriangle ADP

,

AP \cdot AD = 60 \Rightarrow AP = \dfrac{{60}}{a}

και από το Π. Θ. σ αυτό ,

12{x^2} = {a^2} + \dfrac{{3600}}{{{a^2}}}\,\,\left( 1 \right)

Από το εμβαδόν του τραπεζίου

ADQB

,

55 + {x^2}\sqrt 3 = \dfrac{{a + k}}{2}b \Rightarrow 2ak\sqrt 3 {x^2} = 25{a^2} + 30{k^2}\,\,\left( 2 \right)

( γιατί

mk = 50\,\,\,,\,\,b = m + \dfrac{{60}}{a}

), Από το Π. Θ. στο $\vartriangle BPQ$ ,

4{x^2} = {k^2} + \dfrac{{2500}}{{{k^2}}}\,\,\left( 3 \right)

.

Στις $\left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 3 \right)$ θέτω :

{a^2} = A\,\,,\,\,{k^2} = K\,\,,\,{a^2} = A

και γίνονται δευτέρου βαθμού ως προς $A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,K$ . Έτσι

: Εμβαδόν τριγώνου κατασκευή.png (25.75 KiB) Προβλήθηκε 120 φορές

A = 6(X + \sqrt {{X^2} - 100} )\,\,\,,K = 2(X + \sqrt {{X^2} - 635} )

, Γράφω τη $\left( 2 \right)$ ως προς τους συμβολισμούς των κεφαλαίων .

Με τη βοήθεια λογισμικού … προκύπτουν :

X = 10\sqrt {13} \,\,,\,\,A = 60\sqrt {13} + 120\sqrt 3 \,\,,\,\,K = 20\sqrt {13} + 30\sqrt 3

Δηλαδή με του συμβολισμούς του σχήματος :

a = \sqrt {60\sqrt {13} + 120\sqrt 3 } ,\,k = \sqrt {20\sqrt {13} + 30\sqrt 3 }

x = \sqrt[4]{{1300}}\,\,\,,\,\,b = \sqrt {20\sqrt {13} - 10\sqrt 3 } \,\,,m = \sqrt {20\sqrt {13} - 30\sqrt 3 }

. Τώρα υπολογίζουμε ότι θέλουμε στο σχήμα .

2\left( {CQD} \right) = CQ \cdot CD = (a - k)b = \sqrt {20\sqrt {13} + 10\sqrt 3 } \sqrt {20\sqrt {13} - 10\sqrt 3 } = 70

.

Παρατηρήσεις

Αν γνωρίζουμε μόνο το η κατασκευή είναι πολύ απλή .

Η άσκηση είναι για άλλο φάκελο π.χ. του καθηγητή αλλά και πάλι ...

Πολύ ωραίες οι λύσεις του κ. Χρήστου ( τα μικρά γράμματα κουράζουν , ηλικία γάρ) και του κ. Νικήτα

Eμβαδόν τριγώνου

Eμβαδόν τριγώνου

Re: Eμβαδόν τριγώνου

Re: Eμβαδόν τριγώνου

Re: Eμβαδόν τριγώνου

Re: Eμβαδόν τριγώνου

Re: Eμβαδόν τριγώνου

Re: Eμβαδόν τριγώνου

Μέλη σε σύνδεση