Δύσκολη ισότητα

KARKAR · #1

: Δύσκολη ισότητα.png (15.46 KiB) Προβλήθηκε 177 φορές

Στο εγγεγραμμένο στον κύκλο (O,5)

τρίγωνο

, η βάση

, έχει απόστημα OM=3

.

Στις πλευρές AB , AC ,

θεωρούμε σημεία D , E

αντίστοιχα , τέτοια ώστε : BD=CE=x

.

Αν

το μέσο του

, υπολογίστε το

, ώστε να είναι και

NM=3

.

#2

KARKAR έγραψε: Πέμ Σεπ 03, 2026 7:43 am Δύσκολη ισότητα.pngΣτο εγγεγραμμένο στον κύκλο τρίγωνο , η βάση , έχει απόστημα .

Στις πλευρές θεωρούμε σημεία αντίστοιχα , τέτοια ώστε : .

Αν το μέσο του , υπολογίστε το , ώστε να είναι και $NM=3$ .

Δεν έχω πλήρη λύση ( δηλαδή απόδειξη της κατασκευής) . Υπάρχουν άπειρα τρίγωνα ABC

.

¨Όλα τα τρίγωνα προφανώς θα έχουν σταθερή τη βάση BC = 8

και σταθερή τη ,

\widehat {BAC} = \widehat {\theta _{}^{}}

με $\boxed{\tan \theta = \frac{4}{3}}$ .

Ως γνωστό πάντα η διχοτόμος της $\widehat {BAC}$ είναι παράλληλη στην

,

: Δύσκολη ισότητα new.png (56.73 KiB) Προβλήθηκε 140 φορές

Επιλέγοντας ένα τρίγωνο με π.χ. AB = 6

σταθερή και δεδομένη προκύπτει το

\boxed{x = \frac{{3\sqrt 5 }}{2}}

Μετά για κάθε AB = c

πρέπει να δείξουμε ότι το

είναι το ίδιο με το παραπάνω .

#3

KARKAR έγραψε: Πέμ Σεπ 03, 2026 7:43 am Δύσκολη ισότητα.pngΣτο εγγεγραμμένο στον κύκλο τρίγωνο , η βάση , έχει απόστημα .

Στις πλευρές θεωρούμε σημεία αντίστοιχα , τέτοια ώστε : .

Αν το μέσο του , υπολογίστε το , ώστε να είναι και $NM=3$ .

Φέρνω τη διχοτόμο

που είναι σταθερή, έστω

AF=d

και τις παράλληλες DS, ET

σε αυτήν.

Αυτές είναι παράλληλες στη

και λόγω του τραπεζίου

DSTE

θα είναι

DS+ET=2MN=6.

: Δύσκολη ισότητα.ΚΑ.png (25.97 KiB) Προβλήθηκε 108 φορές

\frac{{DS}}{d} = \frac{x}{c},\frac{{ET}}{d} = \frac{x}{b} \Rightarrow DS + ET = 6 = \frac{{xd(b + c)}}{{bc}} \Leftrightarrow x = \frac{{6bc}}{{d(b + c)}}

Αν αντικαταστήσουμε το

συναρτήσει των

a=8, b, c

θα έχουμε τελικά

\boxed{x = 6\sqrt {\dfrac{{bc}}{{{{(b + c)}^2} - 64}}}}

#4

george visvikis έγραψε: Σάβ Σεπ 05, 2026 9:47 am
KARKAR έγραψε: Πέμ Σεπ 03, 2026 7:43 am Δύσκολη ισότητα.pngΣτο εγγεγραμμένο στον κύκλο τρίγωνο , η βάση , έχει απόστημα .

Στις πλευρές θεωρούμε σημεία αντίστοιχα , τέτοια ώστε : .

Αν το μέσο του , υπολογίστε το , ώστε να είναι και $NM=3$ .
Φέρνω τη διχοτόμο που είναι σταθερή, έστω $AF=d$ και τις παράλληλες σε αυτήν.

Αυτές είναι παράλληλες στη και λόγω του τραπεζίου $DSTE$ θα είναι $DS+ET=2MN=6.$
Δύσκολη ισότητα.ΚΑ.png
$\frac{{DS}}{d} = \frac{x}{c},\frac{{ET}}{d} = \frac{x}{b} \Rightarrow DS + ET = 6 = \frac{{xd(b + c)}}{{bc}} \Leftrightarrow x = \frac{{6bc}}{{d(b + c)}}$
Αν αντικαταστήσουμε το συναρτήσει των $a=8, b, c$ θα έχουμε τελικά $\boxed{x = 6\sqrt {\dfrac{{bc}}{{{{(b + c)}^2} - 64}}}}$

Παρατήρηση :
Τα έχουν μεταξύ τους εξάρτηση αφού από Θ. συνημίτονου στο $\vartriangle ABC$ θα ισχύει , $64 = {b^2} + {c^2} - 2bc\dfrac{3}{5} \Rightarrow \boxed{b = \dfrac{{4\sqrt {100 - {c^2}} + 3c}}{5}}$

Κι έτσι η σχέση του Γιώργου , $\boxed{x = 6\sqrt {\dfrac{{bc}}{{{{(b + c)}^2} - 64}}} = \dfrac{{3\sqrt 5 }}{2}}\,\,\,$ σταθερό .

KARKAR · #5

: Δύσκολη ισότητα.png (12.48 KiB) Προβλήθηκε 76 φορές

Το

είναι το μέσο του

. Οι έγχρωμες γωνίες είναι παραπληρωματικές .

Ο νόμος του συνημιτόνου δίνει το

συναρτήσει του

και του $\cos A$ ...

#6

KARKAR έγραψε: Σάβ Σεπ 05, 2026 2:24 pm Δύσκολη ισότητα.pngΤο είναι το μέσο του . Οι έγχρωμες γωνίες είναι παραπληρωματικές .

Ο νόμος του συνημιτόνου δίνει το συναρτήσει του και του $\cos A$ ...

Ξετίναξες την ."τράπεζα" ,

#7

KARKAR έγραψε: Σάβ Σεπ 05, 2026 2:24 pm Δύσκολη ισότητα.pngΤο είναι το μέσο του . Οι έγχρωμες γωνίες είναι παραπληρωματικές .

Ο νόμος του συνημιτόνου δίνει το συναρτήσει του και του $\cos A$ ...

Αποστομωτικό

Δύσκολη ισότητα

Δύσκολη ισότητα

Re: Δύσκολη ισότητα

Re: Δύσκολη ισότητα

Re: Δύσκολη ισότητα

Re: Δύσκολη ισότητα

Re: Δύσκολη ισότητα

Re: Δύσκολη ισότητα

Μέλη σε σύνδεση