Ισοσκελή

[mick7]

Η περίμετρος του τριγώνου είναι μονάδες.

Το εμβαδόν του τριγώνου είναι τετραγωνικές μονάδες.

Πόσα διαφορετικά ισοσκελή τρίγωνα υπάρχουν;

[Mihalis_Lambrou]

Η περίμετρος του τριγώνου είναι μονάδες.

Το εμβαδόν του τριγώνου είναι τετραγωνικές μονάδες.

Πόσα διαφορετικά ισοσκελή τρίγωνα υπάρχουν;

.
Μπορούμε και καλύτερα, συγκεκριμένα να βρούμε τις πλευρές.

Έστω τα ίσα σκέλη και η βάση, οπότε το ύψος προς την βάση είναι . Οι υποθέσεις γράφονται

και .

Από την πρώτη είναι που με αντικατάσταση στην δεύτερη οδηγεί στην τριτοβάθμια

.

Μπορούμε να την λύσουμε με γνωστές μεθόδους αλλά επειδή οι πράξεις είναι απαγορευτικές τις έκανα με λογισμικό. Βγαίνει ότι έχει τρεις πραγματικές ρίζες, τις και .

Από αυτές κρατάμε τις δύο πρώτες γιατί η τρίτη δίνει . Συνοψίζοντας, έχουμε δύο λύσεις:

και

[gbaloglou]

Θυμίζω εδώ την από κοινού με τον Michel Helfgott εργασία μας "Γωνίες, εμβαδόν και περίμετρος πιασμένα σε μια τριτοβάθμια" όπου αποδεικνύουμε ότι οι γωνίες τυχόντος τριγώνου γνωστού εμβαδού και γνωστής περιμέτρου κείνται υποχρεωτικά ανάμεσα στις γωνίες κορυφής των δύο ισοσκελών τριγώνων εμβαδού και περιμέτρου (που προσδιορίζονται με τον τρόπο που έδειξε ο Μιχάλης*).

*η εργασία προέκυψε αργά κάποιο βράδυ, όταν, φεύγοντας από το γραφείο, ρώτησα τον Michel -- ναι, είναι ο πατέρας του Harald Helfgott που απέδειξε την ασθενή εικασία Goldbach -- τι γραπτά και τι πρόβλημα διόρθωνε: ήταν ακριβώς το εδώ προταθέν [Μόλις χθες είδα, αναζητώντας κάτι άλλο, την εργασία μας, που δημοσιεύτηκε στο Forum Geometricorum στις αρχές του 2008, να αναφέρεται, άγνωστο για ποιον λόγο, στην βιβλιογραφία εδώ ]