Κβαντική Ευκλείδια Γεωμετρία
Μια προκαταρκτική θεμελίωση μιας γεωμετρίας στην οποία τα σημεία δεν είναι πάντοτε εκεί όπου νομίζουμε
Εισαγωγή
Η κλασική Ευκλείδεια Γεωμετρία, παρά την αξιοθαύμαστη διαχρονικότητά της, παρουσιάζει ένα θεμελιώδες μειονέκτημα: απαιτεί από τα γεωμετρικά αντικείμενα να γνωρίζουν επακριβώς πού βρίσκονται. Η απαίτηση αυτή, αν και πρακτική σε επίπεδα, τρίγωνα και σχολικές εξετάσεις, καθίσταται προβληματική όταν εξετάζουμε συστήματα στα οποία η θέση ενός σημείου εξαρτάται από το ποιος το παρατηρεί, από το πότε το παρατηρεί και, σε ορισμένες περιπτώσεις, από το αν έχει λόγο να το παρατηρεί.
Για την αντιμετώπιση του προβλήματος προτείνεται η Κβαντική Ευκλείδια Γεωμετρία (ΚΕΓ), ένα θεωρητικό πλαίσιο στο οποίο τα βασικά γεωμετρικά αντικείμενα —σημεία, ευθείες, αποστάσεις και γωνίες— δεν θεωρούνται κατ’ ανάγκην απολύτως καθορισμένα, αλλά περιγράφονται από καταστάσεις πιθανότητας.
Έτσι, αντί να λέμε: «Το σημείο Α βρίσκεται εδώ»,
λέμε: «Το σημείο Α έχει αυξημένη πιθανότητα να βρίσκεται εδώ, εκτός εάν έχει ήδη ξεκινήσει η απόδειξη».
Η ΚΕΓ δεν έρχεται να καταργήσει την Ευκλείδεια Γεωμετρία. Έρχεται να εξηγήσει γιατί, παρά τις μέχρι σήμερα προσπάθειες, κανένα διάγραμμα δεν αποτυπώνεται ποτέ ακριβώς όπως το σχεδιάσαμε.
Αξιώματα της Κβαντικής Ευκλείδιας Γεωμετρίας
Αξίωμα I — Το Αξίωμα της Απροσδιοριστίας
Για κάθε γεωμετρικό σημείο P, δεν είναι δυνατόν να γνωρίζουμε ταυτόχρονα με απόλυτη ακρίβεια τη θέση του και την απόστασή του από το σημείο A.
Συμβολικά: , όπου είναι η θεμελιώδης σταθερά της γεωμετρικής αβεβαιότητας.
Στην πράξη, αυτό σημαίνει ότι όσο ακριβέστερα προσπαθούμε να εντοπίσουμε το P πάνω στο σχήμα, τόσο περισσότερο μετακινείται η απόσταση που είχαμε μόλις υπολογίσει.
Αξίωμα II — Η Αρχή της Γεωμετρικής Υπέρθεσης
Ένα σημείο μπορεί να βρίσκεται ταυτοχρόνως σε περισσότερες από μία γεωμετρικές θέσεις, μέχρις ότου πραγματοποιηθεί μέτρηση.
Για παράδειγμα, το σημείο Β μπορεί να βρίσκεται ταυτόχρονα:
• πάνω στην ευθεία ε,
• πάνω στον κύκλο κέντρου Κ,
• και ακριβώς εκεί όπου ο μαθητής έχει αφήσει το μολύβι.
Η τελική θέση του Β καθορίζεται κατά την παρατήρηση, με την τρίτη κατάσταση να είναι η συχνότερη.
Αξίωμα III — Η Αρχή της Γεωμετρικής Παρατήρησης
Η παρατήρηση ενός σχήματος επηρεάζει το ίδιο το σχήμα. Ειδικότερα, εάν ένας γεωμέτρης παρατηρήσει ένα τρίγωνο με την πρόθεση να επιβεβαιώσει ότι είναι ισοσκελές, το τρίγωνο αποκτά αυξημένη πιθανότητα να είναι ισοσκελές.
Η διαδικασία αυτή ονομάζεται γεωμετρική κατάρρευση της κυματοσυνάρτησης.
Αξίωμα IV — Το Αξίωμα της Ευθείας με Επιφύλαξη
Από δύο σημεία διέρχεται μία και μόνον μία ευθεία, υπό την προϋπόθεση ότι κανένα από τα δύο σημεία δεν μετακινηθεί.
Εάν ένα από τα σημεία μετακινηθεί, υπάρχει πιθανότητα η ευθεία να μετακινηθεί επίσης.
Εάν μετακινηθούν και τα δύο, το σύστημα εισέρχεται σε κατάσταση γεωμετρικής αβεβαιότητας, κατά την οποία η ευθεία μπορεί να παραμένει η ίδια, να αλλάζει ή να έχει εξαρχής σχεδιαστεί λάθος.
Αξίωμα V — Η Κβαντική Ισότητα Τριγώνων
Δύο τρίγωνα θεωρούνται ίσα εφόσον υπάρχει μη μηδενική πιθανότητα να είναι ίσα.
Κατά συνέπεια ή σχέση αρκεί για να θεωρηθούν τα δύο τρίγωνα κβαντικά ισοδύναμα.
Η ισότητα αυτή καταρρέει μόλις κάποιος μετρήσει τα μήκη των πλευρών.
Για τον λόγο αυτό, οι ακριβείς μετρήσεις πρέπει να αποφεύγονται όπου είναι δυνατόν.
Αξίωμα VI — Το Αξίωμα της Κβαντικής Παραλληλίας
Από ένα σημείο εκτός ευθείας διέρχεται μία μόνο παράλληλη προς αυτήν, εκτός εάν το σημείο βρίσκεται στον πίνακα. Στην τελευταία περίπτωση, ο αριθμός των παραλλήλων εξαρτάται από το πόσες φορές έχει ξαναλυθεί η συγκεκριμένη άσκηση.
Αξίωμα VII — Η Αρχή της Γεωμετρικής Εμπλοκής
Δύο σημεία A και B θεωρούνται γεωμετρικά διεμπλεκόμενα όταν η μεταβολή της θέσης του ενός προκαλεί ακαριαία μεταβολή στην αντιλαμβανόμενη θέση του άλλου, ανεξάρτητα από την απόσταση μεταξύ τους.
Χαρακτηριστικό παράδειγμα:
Αν μετακινήσουμε το A κατά 2 cm, το B μετακινείται κατά 3 cm, επειδή «έτσι βγαίνει το σχήμα».
Το Θεώρημα της Κβαντικής Γωνίας
Στην κλασική γεωμετρία, μια γωνία έχει συγκεκριμένο μέτρο. Στην ΚΕΓ, η γωνία θ περιγράφεται από κυματοσυνάρτηση:
Έτσι, μια γωνία μπορεί να βρίσκεται σε υπέρθεση των .
Κατά την παρατήρηση, η κυματοσυνάρτηση καταρρέει σε μία συγκεκριμένη τιμή.
Εάν η τιμή είναι π.χ , θεωρείται ότι το πρόβλημα περιείχε αριθμητικό σφάλμα.
Ο Κβαντικός κύκλος
Έστω κύκλος κ με κέντρο O και ακτίνα r.
Στην κλασική γεωμετρία, όλα τα σημεία του κύκλου απέχουν r από το Ο.
Στην ΚΕΓ, κάθε σημείο P του κύκλου έχει κατανομή πιθανότητας:
Το «
» είναι απαραίτητο, διότι κατά τη σχεδίαση με διαβήτη το σημείο μπορεί να απέχει ελάχιστα περισσότερο ή λιγότερο, ενώ κατά την εκτύπωση του σχήματος η απόσταση μεταβάλλεται περαιτέρω.Το αποτέλεσμα είναι γνωστό ως Κβαντική Ακτινική Διαστολή.
Συμπέρασμα
Η Κβαντική Ευκλείδια Γεωμετρία προτείνει μια ριζική αλλά αναγκαία αναθεώρηση της έννοιας του γεωμετρικού αντικειμένου.
Το σημείο δεν είναι πλέον απλώς ένα σημείο.
Η ευθεία δεν είναι πάντοτε απολύτως ευθεία.
Η απόσταση δεν είναι αναγκαστικά αυτή που μετρήσαμε.
Και το τρίγωνο, μέχρι να ολοκληρωθεί η απόδειξη, μπορεί να είναι οτιδήποτε.
Η θεωρία παραμένει προς το παρόν υποθετική. Ωστόσο, τα πρώτα πειραματικά δεδομένα από σχολικές αίθουσες, πανεπιστημιακά αμφιθέατρα και πρόχειρα σχεδιαγράμματα σε χαρτοπετσέτες κρίνονται ιδιαίτερα ενθαρρυντικά.
Απαιτείται περαιτέρω έρευνα, ιδίως για την επίλυση του σημαντικότερου μέχρι σήμερα προβλήματος:
Εάν ένα τρίγωνο είναι ταυτόχρονα ορθογώνιο, ισοσκελές και αμβλυγώνιο, ποια από τις τρεις ιδιότητες θα καταρρεύσει πρώτη όταν το κοιτάξουμε;
Η απάντηση αναμένεται να αλλάξει οριστικά την αντίληψή μας για τη γεωμετρία — και πιθανώς να καταστήσει περιττό το μοιρογνωμόνιο.
ΥΓ: Η ΤΝ βοήθησε αρκετά...
Λόγω της σταθεράς Planck geo ισχύει αυτό 
