Αναπάντεχη ισότητα

KARKAR · #1

: Αναπάντεχη ισότητα.png (8.19 KiB) Προβλήθηκε 191 φορές

Στην πλευρά

του ορθογωνίου ABCD

βρίσκεται σημείο

. Η

τέμνει την διαγώνιο

στο

και την προέκταση της

στο

. Βρείτε τον λόγο $\dfrac{CS}{SB}$ , ώστε να είναι :

DP=ST

.

#2

KARKAR έγραψε: Τρί Σεπ 29, 2026 8:58 pm Αναπάντεχη ισότητα.pngΣτην πλευρά του ορθογωνίου βρίσκεται σημείο . Η τέμνει την διαγώνιο

στο και την προέκταση της στο . Βρείτε τον λόγο $\dfrac{CS}{SB}$ , ώστε να είναι : $DP=ST$ .

: αναπαντ.png (18.22 KiB) Προβλήθηκε 179 φορές

.
Προφανώς τα τρίγωνα

DQP, SBT

είναι ίσα, οπότε

QP=BT=c

. Οπότε από τα όμοια τρίγωνα

ADT, BST

έχουμε

\dfrac{b}{a+c}= \dfrac{d}{c}

Επίσης από τα όμοια τρίγωνα

AQP, ADC

έχουμε

\dfrac{b-d}{c}= \dfrac{b}{a}

Λύνοντας το σύστημα των δυο, θα βρούμε ότι το

ικανοποιεί

d^2-3bd+b^2=0

, οπότε

d=\dfrac{(3-\sqrt 5)b}{2}

Άρα

\dfrac{CS}{SB} = \dfrac{b-d}{d}= \dfrac{\dfrac{(\sqrt 5-1)b}{2}}{\dfrac{(3-\sqrt 5)b}{2}} = \dfrac{1+\sqrt 5}{2} = \phi

Ιστοσελίδα · #3

KARKAR έγραψε: Τρί Σεπ 29, 2026 8:58 pm Στην πλευρά του ορθογωνίου βρίσκεται σημείο . Η τέμνει την διαγώνιο

στο και την προέκταση της στο . Βρείτε τον λόγο $\dfrac{CS}{SB}$ , ώστε να είναι : $DP=ST$ .

: shape.png (20.36 KiB) Προβλήθηκε 148 φορές

#4

KARKAR έγραψε: Τρί Σεπ 29, 2026 8:58 pm Αναπάντεχη ισότητα.pngΣτην πλευρά του ορθογωνίου βρίσκεται σημείο . Η τέμνει την διαγώνιο

στο και την προέκταση της στο . Βρείτε τον λόγο $\dfrac{CS}{SB}$ , ώστε να είναι : $DP=ST$ .

: Αναπαντ 2.png (15.27 KiB) Προβλήθηκε 136 φορές

.
Ας το δούμε και με Αναλυτική Γεωμετρία γιατί είναι θέμα ρουτίνας:

Μς αρχή των αξόνων το A(0,0)

, έστω

B(b,0), D(0,a)

και

S(b,s)

. Οι εξισώσεις των

AC, DS

είναι

y= \dfrac {a}{b}x, \, y= \dfrac {s-a}{b} x+a

(άμεσο). Οπότε αμέσως

P\left ( \dfrac {ab}{2a-s} , \, y_P\right )

(το

δεν θα μας χρειαστεί, αλλά είναι

\dfrac {a^2}{2a-s}

) και

T\left ( \dfrac {bs}{a-s} , \,0\right )

.

Η δοθείσα ισότητα γράφεται ισοδύναμα

x_P=BT

, εδώ

\dfrac {ab}{2a-s} = \dfrac {bs}{a-s}-b

. Άρα

s^2-3as+a^2=0

από όπου

s= \dfrac {3-\sqrt 5}{2}

και αμέσως

\dfrac{CS}{SB}= \phi

p_gianno · #5

: Στιγμιότυπο οθόνης 2026-09-30 102554 αναπάντεχα ίσα.png (16.37 KiB) Προβλήθηκε 122 φορές

HPI||AB, \triangle SBT \sim \triangle SCD , \triangle DCA \sim \triangle HPA.

Οπότε έχουμε:

\frac{CS}{SB}= \frac{DC}{BT}= \frac{DC}{HP}= \frac{DA}{HA}= \frac{CB}{IB}= \frac{CB}{CS}

που σημαίνει ότι το

χωρίζει το

σε μέσο και άκρο λόγο.

STOPJOHN · #6

KARKAR έγραψε: Τρί Σεπ 29, 2026 8:58 pm Αναπάντεχη ισότητα.pngΣτην πλευρά του ορθογωνίου βρίσκεται σημείο . Η τέμνει την διαγώνιο

στο και την προέκταση της στο . Βρείτε τον λόγο $\dfrac{CS}{SB}$ , ώστε να είναι : $DP=ST$ .

Eστω

LP\perp AB

Τότε τα ορθογώνια τρίγωνα

DCS,PLT

είναι ίσα Αρα

LP=CS,LP//CS

και το τετράπλευρο

PLSC

είναι παραλληλόγραμμο.Αν

BS=x,SC=b-x

Απο την ομοιότητα των τριγώνων

PCS,ADP,\dfrac{b-x}{b}=\dfrac{PC}{AP},(1)

LS//AC\Rightarrow \dfrac{AP}{PC}=\dfrac{b}{x}-1,(2), (1) ,(2)\Rightarrow \dfrac{b}{x}+\dfrac{x}{b}-3=0\Rightarrow \dfrac{b}{x}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}, \dfrac{CS}{SB} =\dfrac{b}{x}-1=\Phi

Αναπάντεχη ισότητα

Αναπάντεχη ισότητα

Re: Αναπάντεχη ισότητα

Re: Αναπάντεχη ισότητα

Re: Αναπάντεχη ισότητα

Re: Αναπάντεχη ισότητα

Re: Αναπάντεχη ισότητα

Μέλη σε σύνδεση