Εκκεντρικές κατασκευές 8

KARKAR · #1

: Εκκεντρικές κατασκευές 8.png (14.16 KiB) Προβλήθηκε 202 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

, με κάθετες πλευρές AB=8 , AC=6

, εντοπίστε σημείο

της

, τέτοιο ώστε

αν η μεσοκάθετος του

τέμνει τις

AC , BC

στα σημεία P , Q

αντίστοιχα , οι

CS , AQ , BP

να συντρέχουν (στο

) .

#2

KARKAR έγραψε: Τετ Σεπ 30, 2026 10:20 am Εκκεντρικές κατασκευές 8.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , με κάθετες πλευρές , εντοπίστε σημείο της , τέτοιο ώστε

αν η μεσοκάθετος του τέμνει τις $AC , BC$ στα σημεία αντίστοιχα , οι $CS , AQ , BP$ να συντρέχουν (στο ) .

Με τους συμβολισμούς του σχήματος είναι

PS=PC=6-AP

και

QS=QC=10-y.

Με Πυθαγόρειο στο ASP

βρίσκω,

AP = \dfrac{{36 - {x^2}}}{{12}},CP = \dfrac{{36 + {x^2}}}{{12}}

και με $\rm Ceva$

: Εκκεντρικές κατασκευές 8.png (19.3 KiB) Προβλήθηκε 184 φορές

\frac{{36 + {x^2}}}{{36 - {x^2}}} \cdot \frac{x}{{8 - x}} \cdot \frac{y}{{10 - y}}=1(1)

Με νόμο συνημιτόνου στο BQS

είναι,

\boxed{(10-y)^2=y^2+(8-x)^2-2y(8-x)\dfrac{4}{5}}

Λύνοντας το σύστημα των (1),(2)

κι επειδή

παίρνω τη δεκτή προσεγγιστική λύση

\boxed{x\simeq 2,43013}

KARKAR · #3

Παρατήρηση : Είναι :

\dfrac{ST}{TC}=\dfrac{1}{2}

. Με αυτό γνωστό και θ. Μενελάου , εύκολα καταλήγουμε στην εξίσωση :

x^3-12x^2-36x+144=0

, από την οποία παίρνουμε την τιμή του

που βρίσκει ο Γιώργος .

Αλλά το ότι :

\dfrac{ST}{TC}=\dfrac{1}{2}

, θα μπορούσε να είναι ζητούμενο . Είναι δυνατόν να αποδειχθεί ;

#4

KARKAR έγραψε:Αλλά το ότι : $\dfrac{ST}{TC}=\dfrac{1}{2}$ , θα μπορούσε να είναι ζητούμενο . Είναι δυνατόν να αποδειχθεί ;

Είναι άμεσο από το ότι η σημειοσειρά

C,X,T,S,

με

X\equiv PQ\cap CT,

είναι αρμονική από το πλήρες τετράπλευρο

CPTQ.AB.

Έτσι, έχουμε

\boxed{\dfrac{TX}{TS}=\dfrac{CX}{CS}=\dfrac{1}{2}} \ \ ,(1)

Από $(1)\Rightarrow$

\boxed{\dfrac{ST}{TC}=\dfrac{1}{2}}

και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί

θεωρείστε το συμμετρικό σημείο του

ως προς το

Κώστας Βήττας.

Εκκεντρικές κατασκευές 8

Εκκεντρικές κατασκευές 8

Re: Εκκεντρικές κατασκευές 8

Re: Εκκεντρικές κατασκευές 8

Re: Εκκεντρικές κατασκευές 8

Μέλη σε σύνδεση