Από μέγιστο αθροίσματος σε άθροισμα μεγίστων

#1

.
Αν $a,\,b,\,c,\,d$ πραγματικοί αριθμοί, να αποδείξετε ότι

\max (a+c,\,b+d) \le \max (a,b) + \max (c,d)

Υπάρχουν διάφορες λύσεις.

Ας την αφήσουμε

ώρες για τους μαθητές μας.

.

mick7 · #2

Θέλουμε να αποδείξουμε ότι

\max(a+c,b+d)\leq \max(a,b)+\max(c,d)

.

Χρησιμοποιούμε τον τύπο

\boxed{\max(x,y)=\frac{x+y+|x-y|}{2}}

.

Έχουμε λοιπόν

\max(a+c,b+d)=\frac{a+b+c+d+|a+c-b-d|}{2}

.

Από την άλλη πλευρά,

\max(a,b)+\max(c,d)=\frac{a+b+|a-b|}{2}+\frac{c+d+|c-d|}{2}

,

οπότε

\max(a,b)+\max(c,d)=\frac{a+b+c+d+|a-b|+|c-d|}{2}

.

Επομένως, αρκεί να αποδείξουμε ότι

|a+c-b-d|\leq |a-b|+|c-d|

.

Παρατηρούμε ότι

a+c-b-d=(a-b)+(c-d)

.

Άρα, από την τριγωνική ανισότητα,

|(a-b)+(c-d)|\leq |a-b|+|c-d|

.

Συνεπώς,

\boxed{\max(a+c,b+d)\leq \max(a,b)+\max(c,d)}

.

#3

.
Σωστά, αλλά όπως σημείωσα
.

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τετ Σεπ 30, 2026 10:30 pm Υπάρχουν διάφορες λύσεις.

.
Συγκεκριμένα, υπάρχει ουσιωδώς ευκολότερη λύση, χωρίς τον τύπο

\max(x,y)= \dfrac {x+y+|x-y|}{2}

#4

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τετ Σεπ 30, 2026 10:30 pm .
Αν $a,\,b,\,c,\,d$ πραγματικοί αριθμοί, να αποδείξετε ότι

$\max (a+c,\,b+d) \le \max (a,b) + \max (c,d)$

.
Είναι

a\le \max (a,b)

και

c\le \max (c,d)

οπότε προσθέτοντας κατά μέλη είναι

a+c \le \max (a,b)+ \max (c,d)

(1)

Όμοια

b+d\le \max (a,b)+ \max (c,d)

(2)

Αφού, λοιπόν, καθένα από τα

a+c,\, b+d

είναι μικρότερο ή ίσο από το (κοινό) δεξί μέλος των (1),(2), έπεται το ζητούμενο.

Από μέγιστο αθροίσματος σε άθροισμα μεγίστων

Από μέγιστο αθροίσματος σε άθροισμα μεγίστων

Re: Από μέγιστο αθροίσματος σε άθροισμα μεγίστων

Re: Από μέγιστο αθροίσματος σε άθροισμα μεγίστων

Re: Από μέγιστο αθροίσματος σε άθροισμα μεγίστων

Μέλη σε σύνδεση