Από διπλάσιο πάμε σε τριπλάσιο

#1

: Τριπλάσιο.png (10.94 KiB) Προβλήθηκε 386 φορές

.
Στο σχήμα αν AB = 2AC

, δείξετε ότι , AC = 3AD

.

Σχετικά απλή, λύστε την όπως θέλετε

Ιστοσελίδα · #2

Doloros έγραψε: Τετ Σεπ 30, 2026 8:20 pm Στο σχήμα αν , δείξετε ότι , .

Σχετικά απλή, λύστε την όπως θέλετε

: shape.png (22.69 KiB) Προβλήθηκε 378 φορές

p_gianno · #3

: Στιγμιότυπο οθόνης 2026-09-30 222721.png (11.99 KiB) Προβλήθηκε 367 φορές

tanC=(tan45+x)=\frac{tan45+tanx}{1-tan45 \cdot tanx}=\frac{1+tanx}{1-tanx } (1)

tanC=\frac{AB}{AC}=\frac{2}{1} (2)

(1)+(2) \rightarrow \frac{1+tanx}{1-tanx }=2 \rightarrow 1+tanx=2-2tanx \rightarrow 3tanx=1 \rightarrow tanx=\frac{1}{3} \rightarrow AC=3DA

Nikitas K. · #4

Doloros έγραψε: Τετ Σεπ 30, 2026 8:20 pm
Τριπλάσιο.png
.
Στο σχήμα αν , δείξετε ότι , .

Σχετικά απλή, λύστε την όπως θέλετε

Έστω

το ίχνος του σημείου

επί της

τότε με βάση τους συμβολισμούς του παρακάτω σχήματος:

Λήψη ggb

Η υποτείνουσα

του ορθογωνίου $\triangle ADC$ είναι και υποτείνουσα του ορθογωνίου $\triangle DNC$ οπότε από το Πυθαγόρειο θεώρημα προκύπτει:

2y^2 = x^2 + b^2 \quad \color{blue} *

Από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο $\triangle DBN$ προκύπτει:

y^2 + (\sqrt{5}b - y)^2 = (2b-x)^2\Leftrightarrow y^2 + 5b^2 - 2\sqrt{5} b y + y^2 = 4b^2 - 4bx + x^2 \Leftrightarrow 2y^2 + b^2 + 4bx = x^2 + 2 \sqrt{5} b y

\overset{{\color{blue} *}}{\Leftrightarrow} (x^2 + b^2) + b^2 + 4bx = x^2 + 2 \sqrt{5} b y \Leftrightarrow 2b^2 + 4bx = 2\sqrt{5} b y\Leftrightarrow b + 2x = \sqrt{5}y\Leftrightarrow (b+2x)^2 = 5y^2 \Leftrightarrow 2 (b+2x)^2 = 5 \cdot 2y^2

\overset{\color{blue} *}{\Leftrightarrow} 2(b^2+4bx+4x^2) = 5 (x^2 + b^2) \Leftrightarrow 2b^2 + 8bx + 8x^2 = 5x^2 + 5b^2 \Leftrightarrow 3b^2 -8xb-3x^2 = 0\Leftrightarrow (b-3x)(3b+x) = 0\Leftrightarrow b = 3x

Ιστοσελίδα · #5

Doloros έγραψε: Τετ Σεπ 30, 2026 8:20 pm
Στο σχήμα αν , δείξετε ότι , .

Σχετικά απλή, λύστε την όπως θέλετε.

: shape2.png (20 KiB) Προβλήθηκε 324 φορές

Ιστοσελίδα · #6

Doloros έγραψε: Τετ Σεπ 30, 2026 8:20 pm
Στο σχήμα αν , δείξετε ότι , .

Σχετικά απλή, λύστε την όπως θέλετε.

: shape3.png (17.91 KiB) Προβλήθηκε 323 φορές

Ιστοσελίδα · #7

Doloros έγραψε: Τετ Σεπ 30, 2026 8:20 pm
Στο σχήμα αν , δείξετε ότι , .

Σχετικά απλή, λύστε την όπως θέλετε.

: shape4.png (20.02 KiB) Προβλήθηκε 321 φορές

STOPJOHN · #8

Doloros έγραψε: Τετ Σεπ 30, 2026 8:20 pm Τριπλάσιο.png
.
Στο σχήμα αν , δείξετε ότι , .

Σχετικά απλή, λύστε την όπως θέλετε

Eστω

AD=x,DT\perp CB,AC=CH=b=\dfrac{c}{2}

Το τετράπλευρο DTCA

οπότε

\hat{BAT}=\hat{TAC}=45^{0},\dfrac{BT}{TC}=\dfrac{AB}{AC}=2\Leftrightarrow BT=2TC

Το σημείο

είναι το κέντρο βάρους του τριγώνου

ABH

,

TC=\dfrac{a}{3},B\Theta =\Theta A

BD.BA=BT.BC\Rightarrow (c-x).c=\dfrac{10c^{2}}{6}\Rightarrow x=\dfrac{c}{6}\Rightarrow AC=3AD

Μιχάλης Τσουρακάκης · #9

Doloros έγραψε: Τετ Σεπ 30, 2026 8:20 pm Τριπλάσιο.png
.
Στο σχήμα αν , δείξετε ότι , .

Σχετικά απλή, λύστε την όπως θέλετε

Με

μέσον της

είναι

BM=MA=AC=b

και

\angle AMC=45^0

Άρα

\omega + \theta = \omega + \phi =45^0 \Rightarrow \omega = \phi

,επομένως η

εφάπτεται του κύκλου BMC

Έτσι,

CD^2=DM.DB \Rightarrow b^2+x^2=(b-x)(2b-x) \Leftrightarrow b(b-3x)=0 \Rightarrow b=3x

: Από διπλάσιο πάμε σε τριπλάσιο.png (21.27 KiB) Προβλήθηκε 297 φορές

#10

Μιχάλης Τσουρακάκης έγραψε: Πέμ Οκτ 01, 2026 9:54 am
Doloros έγραψε: Τετ Σεπ 30, 2026 8:20 pm Τριπλάσιο.png
.
Στο σχήμα αν , δείξετε ότι , .

Σχετικά απλή, λύστε την όπως θέλετε
Με μέσον της είναι $BM=MA=AC=b$ και $\angle AMC=45^0$

Άρα $\omega + \theta = \omega + \phi =45^0 \Rightarrow \omega = \phi$ ,επομένως η εφάπτεται του κύκλου

Έτσι, $CD^2=DM.DB \Rightarrow b^2+x^2=(b-x)(2b-x) \Leftrightarrow b(b-3x)=0 \Rightarrow b=3x$

Από διπλάσιο πάμε σε τριπλάσιο.png

. . . Εν αναμονή και άλλων . Αυτή που έχω δεν έχει ακόμα εμφανιστεί

KARKAR · #11

: Με τους τύπους.png (5.08 KiB) Προβλήθηκε 281 φορές

Λύνω το αντίστροφο αλλά ισοδύναμο πρόβλημα : Τοποθετώ το σχήμα στους άξονες .

Με :

\lambda_{CB}=-\dfrac{1}{2} , \lambda_{CD}=-3

, έχουμε :

\tan\theta=\dfrac{-1/2+3}{1+3/2}=1

, άρα $\theta =45^0$ .

#12

KARKAR έγραψε: Πέμ Οκτ 01, 2026 11:38 am Με τους τύπους.pngΛύνω το αντίστροφο αλλά ισοδύναμο πρόβλημα : Τοποθετώ το σχήμα στους άξονες .

Με : $\lambda_{CB}=-\dfrac{1}{2} , \lambda_{CD}=-3$ , έχουμε : $\tan\theta=\dfrac{-1/2+3}{1+3/2}=1$ , άρα $\theta =45^0$ .

Κι αυτή ωραία

. Όλα τα λεφτά είναι η τοποθέτηση του τριγώνου στους άξονες .

#13

Doloros έγραψε: Τετ Σεπ 30, 2026 8:20 pm Τριπλάσιο.png
.
Στο σχήμα αν , δείξετε ότι , .

: διπλ τριπλ.png (20.25 KiB) Προβλήθηκε 267 φορές

.
Εντάσουμε το δοθέν τρίγωνο ABC

σε ένα

3\times 6

πλέγμα. Είναι τώρα προφανές ότι το CDE

είναι ισοσκελές οορθογώνιο διότι CD=DE

(άμεσο) και οι πλευρές του είναι

\sqrt {10}, \, \sqrt {10}, \sqrt {20}

(άμεσο), δηλαδή ικανοποιούν a^2+b^2=c^2

.

Άρα

\widehat {DCE}= \widehat {DEC}=45^o

#14

Doloros έγραψε: Τετ Σεπ 30, 2026 8:20 pm Τριπλάσιο.png
.
Στο σχήμα αν , δείξετε ότι , .

Σχετικά απλή, λύστε την όπως θέλετε

Νόμος συνημιτόνου στο BDC:

: Από 2πλάσιο σε 3πλάσιο.png (9.74 KiB) Προβλήθηκε 264 φορές

{(2b - x)^2} = {b^2} + {x^2} + 5{b^2} - b\sqrt {{b^2} + {x^2}} \sqrt {10} \Leftrightarrow ...3{x^2} + 8bx - 3{b^2} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{b}{3}

#15

Mihalis_Lambrou έγραψε: Πέμ Οκτ 01, 2026 12:47 pm
Doloros έγραψε: Τετ Σεπ 30, 2026 8:20 pm Τριπλάσιο.png
.
Στο σχήμα αν , δείξετε ότι , .
διπλ τριπλ.png
.
Εντάσουμε το δοθέν τρίγωνο σε ένα $3\times 6$ πλέγμα. Είναι τώρα προφανές ότι το είναι ισοσκελές οορθογώνιο διότι (άμεσο) και οι πλευρές του είναι $\sqrt {10}, \, \sqrt {10}, \sqrt {20}$ (άμεσο), δηλαδή ικανοποιούν .

Άρα $\widehat {DCE}= \widehat {DEC}=45^o$

. Νομίζω Κ, Λάμπρου ότι δεν χρειάζονται ούτε λόγια στη λύση σας !

#16

george visvikis έγραψε: Πέμ Οκτ 01, 2026 1:31 pm
Doloros έγραψε: Τετ Σεπ 30, 2026 8:20 pm Τριπλάσιο.png
.
Στο σχήμα αν , δείξετε ότι , .

Σχετικά απλή, λύστε την όπως θέλετε
Νόμος συνημιτόνου στο
Από 2πλάσιο σε 3πλάσιο.png
${(2b - x)^2} = {b^2} + {x^2} + 5{b^2} - b\sqrt {{b^2} + {x^2}} \sqrt {10} \Leftrightarrow ...3{x^2} + 8bx - 3{b^2} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{b}{3}$

. Γιώργο ανέμενα λύση σου , ευχαριστώ.

Γενικά όλες οι λύσεις μα όλες είναι υπέροχες και σας ευχαριστώ πολύ.

Σε μια κόλλα χαρτί βρήκα αυτή την άσκηση πρόχειρα γραμμένη (μόνο εκφώνηση ) και γράφω δίπλα : Λήμμα Βήττα !!

Ειδικές ευχαριστίες στο Μιχάλη το Νάννο που, άμεσα έγραψε πάμπολλες λύσεις .

#17

Doloros έγραψε: Τετ Σεπ 30, 2026 8:20 pm Τριπλάσιο.png
.
Στο σχήμα αν , δείξετε ότι , .

Σχετικά απλή, λύστε την όπως θέλετε

: Απο διπλάσιο πάμε σε τριπλάσιο.png (12.42 KiB) Προβλήθηκε 236 φορές

.
Έστω

η προβολή του

στην υποτείνουσα του $\vartriangle ABC$ .

\boxed{\tan \theta = \frac{{BT}}{{TD}} = \frac{{AB}}{{AC}} = 2}

.

Επειδή

\theta + \omega = 135^\circ

θα έχουμε:

\boxed{\tan (\theta + \omega ) = - 1 \Rightarrow \frac{{2 + \tan \omega }}{{1 - 2\tan \omega }} = - 1 \Rightarrow \tan \omega = 3}

.

Άρα ( $\vartriangle ADC$ ) , $\boxed{AC = 3AD}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #18

Doloros έγραψε: Τετ Σεπ 30, 2026 8:20 pm Τριπλάσιο.png
.
Στο σχήμα αν , δείξετε ότι , .

Σχετικά απλή, λύστε την όπως θέλετε

Συνέχεια...

Με

μέσον της

και

DE \bot MC

όλες οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες (βλέπε post 9) άρα

διάμεσος,συνεπώς

κ.βάρους του $\triangle ABC$

Έτσι,

AE=EM= \dfrac{MC}{3}= \dfrac{b \sqrt{2} }{3}

και

EC=2AE=\dfrac{2b \sqrt{2} }{3}

CD^2=CE^2+ED^2=x^2+b^2 \Rightarrow \dfrac{10b^2}{9}=b^2+x^2 \Rightarrow b=3x

: Από διπλάσιο πάμε σε τριπλάσιο.png (21.27 KiB) Προβλήθηκε 230 φορές

Μιχάλης Τσουρακάκης · #19

Doloros έγραψε: Τετ Σεπ 30, 2026 8:20 pm Τριπλάσιο.png
.
Στο σχήμα αν , δείξετε ότι , .

Σχετικά απλή, λύστε την όπως θέλετε

Με

μέσον της

είναι

\angle CMD= \angle ACM= \angle DCB=45^0

οπότε οι μπλε γωνίες είναι ίσες

Από θ.Steiner

\dfrac{BM.BD}{AM.AD} = \dfrac{a^2}{b^2} \Rightarrow \dfrac{2b-x}{x}=5 \Rightarrow b=3x

: Από διπλάσιο πάμε σε τριπλάσιο.png (21.27 KiB) Προβλήθηκε 226 φορές

Ιστοσελίδα · #20

Doloros έγραψε: Τετ Σεπ 30, 2026 8:20 pm
Στο σχήμα αν , δείξετε ότι , .

Σχετικά απλή, λύστε την όπως θέλετε.

: shape5.png (22.95 KiB) Προβλήθηκε 205 φορές

Από διπλάσιο πάμε σε τριπλάσιο

Από διπλάσιο πάμε σε τριπλάσιο

Re: Από διπλάσιο πάμε σε τριπλάσιο

Re: Από διπλάσιο πάμε σε τριπλάσιο

Re: Από διπλάσιο πάμε σε τριπλάσιο

Re: Από διπλάσιο πάμε σε τριπλάσιο

Re: Από διπλάσιο πάμε σε τριπλάσιο

Re: Από διπλάσιο πάμε σε τριπλάσιο

Re: Από διπλάσιο πάμε σε τριπλάσιο

Re: Από διπλάσιο πάμε σε τριπλάσιο

Re: Από διπλάσιο πάμε σε τριπλάσιο

Re: Από διπλάσιο πάμε σε τριπλάσιο

Re: Από διπλάσιο πάμε σε τριπλάσιο

Re: Από διπλάσιο πάμε σε τριπλάσιο

Re: Από διπλάσιο πάμε σε τριπλάσιο

Re: Από διπλάσιο πάμε σε τριπλάσιο

Re: Από διπλάσιο πάμε σε τριπλάσιο

Re: Από διπλάσιο πάμε σε τριπλάσιο

Re: Από διπλάσιο πάμε σε τριπλάσιο

Re: Από διπλάσιο πάμε σε τριπλάσιο

Re: Από διπλάσιο πάμε σε τριπλάσιο

Μέλη σε σύνδεση