Τομές συνόλων

#1

.
Δίνονται τα σύνολα

Α= \{3n+1| n\in \mathbb Z\}, \, B= \{4n+23| n\in \mathbb Z\}, \, C= \{4n-1| n\in \mathbb Z\}, \, D= \{3n+19| n\in \mathbb Z\}

.

Δείξτε ότι

A \cap B= C \cap D

(Ας την αφήσουμε

ώρες για τους μαθητές μας.)

#2

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τετ Σεπ 30, 2026 10:42 pm .
Δίνονται τα σύνολα

$Α= \{3n+1| n\in \mathbb Z\}, \, B= \{4n+23| n\in \mathbb Z\}, \, C= \{4n-1| n\in \mathbb Z\}, \, D= \{3n+19| n\in \mathbb Z\}$ .

Δείξτε ότι $A \cap B= C \cap D$

(Ας την αφήσουμε ώρες για τους μαθητές μας.)

Καλησπέρα από Γρεβενά...

Θα αναζητήσουμε την τομή των συνόλων $\displaystyle{A,B}$ δηλαδή το σύνολο $\displaystyle{A\cap B}$

Δηλαδή θα αναζητήσουμε τα κοινά στοιχεία των συνόλων $\displaystyle{A, B}$ .

Τα σύνολα αυτά είναι:

A= \{ a_n=3n+1, n \in Z \}

και

B=\{b_m=4m+19, m \in Z \}

Έτσι ζητούμε:

a_n=b_m, \ \ (1)

Η εξίσωση (1) γίνεται:

3n+1=4m+19, \ \ (2)

Η εξίσωση (2) τελικά είναι μια διοφαντική εξίσωση πρώτου βαθμού με δυο αγνώστους, δηλαδή:

3n-4m=18, \ \ (3)

Η (3) λύνεται κατά τη γνωστή μέθοδο της απροσδιορίστου ανάλυσης και έχει λύση:

\left\{\begin{matrix} n=6-4l \\ m=-3l\end{matrix}\right., l \in Z \ \ (4)

Από την (4) προκύπτει ότι η ζητούμενη τομή είναι:

A \cap B=\{ 3(6-4l)+1, l \in Z \}

Δηλαδή:

A \cap B =\{ -12l+19, l \in Z \ \ (5) \}

Όμοια αν εργαστούμε για τα άλλα δυο σύνολα καταλήγουμε:

C \cap D=\{-12k+7, k \in Z \} \ \ (6)

Από τις (5) και (6) προκύπτει:

x_l=-12l+19=-12l+12+7=-12(l-1)+7=-12k+7 =y_k , \ \ k=l-1, \ \ (7)

Από την (7) προκύπτει η ισότητα:

A \cap B = C \cap D \ \ (8)

Σημείωση: Δεν ξέρω, ίσως να υπάρχει και πιο εύκολη απόδειξη....

Κώστας Δόρτσιος

Nikitas K. · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τετ Σεπ 30, 2026 10:42 pm .
Δίνονται τα σύνολα

$Α= \{3n+1| n\in \mathbb Z\}, \, B= \{4n+23| n\in \mathbb Z\}, \, C= \{4n-1| n\in \mathbb Z\}, \, D= \{3n+19| n\in \mathbb Z\}$ .

Δείξτε ότι $A \cap B= C \cap D$

(Ας την αφήσουμε ώρες για τους μαθητές μας.)

Ισχύει ότι:

D = \{3n+19 | n \in \mathbb Z\} = \{3(n+6)+1|n\in\mathbb Z\} = A \text{ και } B = \{4n+23|n\in\mathbb Z\} = \{4(n+6)-1|n\in\mathbb Z\} = C

από όπου έπεται το ζητούμενο.

Τομές συνόλων

Τομές συνόλων

Re: Τομές συνόλων

Re: Τομές συνόλων

Μέλη σε σύνδεση