Αντίστροφη και ρυθμός

#1

Δίνεται η συνάρτηση

f(x) = x^3 + x - 1, \quad x \in \mathbb{R}

.
α) Να αποδείξετε ότι η

αντιστρέφεται .
Δίνεται ότι η αντίστροφη συνάρτηση $f^{-1}$ είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ .
β) Ένα σημείο M(x(t), y(t))

κινείται πάνω στη γραφική παράσταση της

. Τη χρονική στιγμή t_0

, το σημείο

διέρχεται από το σημείο A(0,-1)

και ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του είναι

x'(t_0) = 4 \text{ cm/sec}

.Ένα δεύτερο σημείο

κινείται πάνω στην καμπύλη της $f^{-1}$ έτσι ώστε να είναι κάθε στιγμή συμμετρικό του

ως προς την ευθεία y = x

.
i) Να βρείτε τις συντεταγμένες και τον ρυθμό μεταβολής της τετμημένης του σημείου

τη χρονική στιγμή t_0

.
ii) Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της απόστασης (MN)

των δύο σημείων τη χρονική στιγμή t_0

#2

exdx έγραψε: Δευ Οκτ 05, 2026 9:19 am Δίνεται η συνάρτηση $f(x) = x^3 + x - 1, \quad x \in \mathbb{R}$ .
α) Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται .
Δίνεται ότι η αντίστροφη συνάρτηση $f^{-1}$ είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ .
β) Ένα σημείο κινείται πάνω στη γραφική παράσταση της . Τη χρονική στιγμή , το σημείο διέρχεται από το σημείο και ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του είναι $x'(t_0) = 4 \text{ cm/sec}$ .Ένα δεύτερο σημείο κινείται πάνω στην καμπύλη της $f^{-1}$ έτσι ώστε να είναι κάθε στιγμή συμμετρικό του ως προς την ευθεία .
i) Να βρείτε τις συντεταγμένες και τον ρυθμό μεταβολής της τετμημένης του σημείου τη χρονική στιγμή .
ii) Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της απόστασης των δύο σημείων τη χρονική στιγμή

Καλημέρα από Γρεβενά....

α) Είναι:

f'(x)=3x^2+1>0

άρα η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle{R}$ , όπως φαίνεται

στο κατωτέρω σχήμα:

: Ρυθμός μεταβολής 2.png (11.84 KiB) Προβλήθηκε 154 φορές

β) Εργαζόμαστε στο επόμενο σχήμα:

: Ρυθμός μεταβολής 1.png (30.1 KiB) Προβλήθηκε 154 φορές

Στο σχήμα αυτό φαίνονται εκτός του γραφήματος της $\displaystyle{f}$ :

Το γράφημα της αντιστρόφου $\displaystyle{f^{-1}}$ , το γράφημα της $\displaystyle{y=x}$ , τα κινούμενα σημεία $\displaystyle{M, N}$ καθώς και το

κινούμενο ευθύγραμμο τμήμα $\displaystyle{MN}$ . Επίσης τα σημεία $\displaystyle{A,A'}$ σημειώθηκαν με κενό χώρο

χωρίς αυτό να σημαίνει ότι εξαιρούνται από τα αντίστοιχα γραφήματα.

Οι συντεταγμένες των σημείων $\displaystyle{M,N}$ είναι:

M(x,y): x=x(t), \ \ y=x^3(t)+x(t)-1, \ \ t\in R

N(y,x): y=x^3(t)+x(t)-1, \ \ x=x(t), \ \ t \in R

Είναι γνωστό ότι

x'(t_o)=4 cm/sec \ \ (1)

,

Ακόμα είναι:

x(t_o)=0 \ \ (2)

i) Ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του σημείου $\displaystyle{N}$

τη χρονική στιγμή $\displaystyle{t_o}$ κατά την οποία το σημείο αυτό διέρχεται από το σημείο

A'=(-1,0)

θα είναι:

y'(t_o)=3x^2(t_o)x'(t_o)+x'(t_o) \ \ (3)

Η (3) λόγω της (1) και (2) γίνεται:

y'(t_o)=4 cm/sec

ii) Η απόσταση των σημείων $\displaystyle{M,N}$ είναι:

d(MN)(t)=\sqrt{(x(t)-y(t))^2+(y(t)-x(t))^2}=\left| {(y(t)-x(t))} \right | \sqrt{2}

και τελικά:

d(MN)(t) =\left| x^3(t)-1 \right | \sqrt{2}=(1-x^3(t) )\sqrt{2}

για τις τιμές πολύ κοντά στο $\displaystyle{0}$ .

Επομένως:

d'(MN)(t_o)= -3x^2(t_o)x'(t_o) \sqrt{2} =0 cm/sec

Αξιολόγηση των αποτελεσμάτων: Παρατηρούμε ότι οι ρυθμοί μεταβολής των τετμημένων των

σημείων $\displaystyle{M, N}$ κατά τη στιγμή $\displaystyle{t_o}$ που το πρώτο διέρχεται από το σημείο

A=(0,-1)

είναι ίσοι.

Ο ρυθμός μεταβολής του τμήματος $\displaystyle{MN}$ κατά τη ίδια στιγμή είναι μηδέν καθόσον το σημείο

$\displaystyle{A}$ είναι σημείο καμπής. Αυτό το δείχνω με ένα ακόμα σχήμα όπου φαίνεται σε κανονική θέση

η μεταβολή του τμήματος αυτού όπου

MN=ΛS

:

: Ρυθμός μεταβολής 3.png (34.42 KiB) Προβλήθηκε 154 φορές

Παραθέτω και δυο συνδέσμους για το θέμα αυτό:

1ο) [urlhttps://www.geogebra.org/m/vtcwsugp][/url]

2ο) https://www.geogebra.org/m/r5vn5bph

Κώστας Δόρτσιος

Αντίστροφη και ρυθμός

Αντίστροφη και ρυθμός

Re: Αντίστροφη και ρυθμός

Μέλη σε σύνδεση