Όμορφος λόγος

KARKAR · #1

: Όμορφος λόγος.png (11.37 KiB) Προβλήθηκε 194 φορές

Από το σημείο

S( k , m )

του πρώτου τεταρτημορίου , διέρχεται ευθεία η οποία τέμνει τον

στο σημείο

και την $y=\dfrac{4}{3}x$ , στο

. Ενδιαφερόμαστε για τον λόγο :

\lambda =\dfrac{OA+OB}{AB}

.

α) Βρείτε θέση του

, ώστε : $\lambda=2$

β) Βρείτε ( κατασκευάστε ) την θέση του

, για την οποία μεγιστοποιείται ο λόγος $\lambda$ .

#2

KARKAR έγραψε: Σάβ Οκτ 03, 2026 10:50 am Όμορφος λόγος.pngΑπό το σημείο $S( k , m )$ του πρώτου τεταρτημορίου , διέρχεται ευθεία η οποία τέμνει τον

στο σημείο και την $y=\dfrac{4}{3}x$ , στο . Ενδιαφερόμαστε για τον λόγο : $\lambda =\dfrac{OA+OB}{AB}$ .

α) Βρείτε θέση του , ώστε : $\lambda=2$

β) Βρείτε ( κατασκευάστε ) την θέση του , για την οποία μεγιστοποιείται ο λόγος $\lambda$ .

\tan 2\omega = \dfrac{4}{3} \Rightarrow \tan \omega = \dfrac{1}{2},\sin \omega = \dfrac{1}{{\sqrt 5 }},

άρα η ευθεία της διχοτόμου

έχει εξίσωση

y=\dfrac{1}{2}x.

Με

και νόμο ημιτόνου στο

ODA,

είναι

\dfrac{a}{AD}=\sqrt 5 \sin \theta.

Με θεώρημα διχοτόμου:

\dfrac{{OA}}{{OB}} = \dfrac{{AD}}{{DB}} \Leftrightarrow \dfrac{{OA}}{{OA + OB}} = \dfrac{{AD}}{{AB}} \Leftrightarrow

\boxed{\lambda = \frac{{OA + OB}}{{AB}} = \frac{a}{{AD}} = \sqrt 5 \sin \theta }

α) Αν

\lambda= 2,

παρατηρούμε ότι το σημείο

\boxed{A'(k,0)}

επαληθεύει τη δοθείσα σχέση, άρα είναι λύση του προβλήματος.

: Όμορφος λόγος.Κ.png (20.88 KiB) Προβλήθηκε 132 φορές

Έστω

a\ne k,

τότε η ευθεία

AS:y=\dfrac{am}{k-a}(x-a)

τέμνει την $y=\dfrac{1}{2}x$ στο

D\left( {\dfrac{{2am}}{{2m + a - k}},\dfrac{{am}}{{2m + a - k}}} \right)

Από την

έχω

A{D^2} = \dfrac{{{a^2}}}{4} \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow 3{a^2} - (6k + 4m)a + 3{k^2} + 4km = 0

κι επειδή

a\ne k,

παίρνω

\boxed{A(k+\dfrac{4m}{3},0)}

που είναι η δεύτερη θέση που μπορεί να πάρει το

β)

\lambda = \sqrt 5 \sin \theta \leqslant \sqrt 5,

άρα

\boxed{\lambda_{\rm max}=\sqrt 5}

όταν $\boxed{\theta=90^\circ}$ δηλαδή όταν η

είναι κάθετη στην ευθεία

y=\dfrac{1}{2}x.

Εύκολα αποδεικνύεται ότι σε αυτή τη θέση είναι

\boxed{A(k+\frac{m}{2},0)}

Όμορφος λόγος

Όμορφος λόγος

Re: Όμορφος λόγος

Μέλη σε σύνδεση