Με του Ευκλείδη τα εργαλεία

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλημέρα!
Με χρήση του σχήματος που ακολουθεί , να αποδειχθεί ο γνωστός τύπος :

tan 2x=\dfrac{2 tanx}{1-tan^2 x}

: tan2x.png (8.06 KiB) Προβλήθηκε 223 φορές

Δεκτή και κάθε άλλη λύση , ανεξάρτητη από το ως άνω σχήμα.

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

#2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Πέμ Οκτ 08, 2026 1:07 am Καλημέρα!
Με χρήση του σχήματος που ακολουθεί , να αποδειχθεί ο γνωστός τύπος : $tan 2x=\dfrac{2 tanx}{1-tan^2 x}$
tan2x.png
Δεκτή και κάθε άλλη λύση , ανεξάρτητη από το ως άνω σχήμα.

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

.

: Με τα εργαλεία του Παππού.png (17.8 KiB) Προβλήθηκε 201 φορές

.

\boxed{a = \sqrt {1 + \dfrac{1}{4}} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}}

.

\boxed{\dfrac{{EM}}{{CA}} = \dfrac{{BM}}{{BA}} \Rightarrow EM = \dfrac{{\dfrac{3}{4}}}{2} = \dfrac{3}{8}}

.

\boxed{b = \sqrt {Z{M^2} + E{M^2}} = \sqrt {\dfrac{9}{{16}} + \dfrac{9}{{64}}} = \dfrac{{3\sqrt 5 }}{8}}

. Οπότε:

\boxed{\tan 2x = \dfrac{a}{b} = \dfrac{{8\sqrt 5 }}{{6\sqrt 5 }} = \dfrac{3}{4}}

που επειδή

\boxed{\tan x = \dfrac{{AZ}}{{AC}} = \dfrac{1}{2}}

επαληθεύει τον γνωστό τύπο.

Ιστοσελίδα · #3

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Πέμ Οκτ 08, 2026 1:07 am Καλημέρα!
Με χρήση του σχήματος που ακολουθεί , να αποδειχθεί ο γνωστός τύπος : $tan 2x=\dfrac{2 tanx}{1-tan^2 x}$

Δεκτή και κάθε άλλη λύση , ανεξάρτητη από το ως άνω σχήμα.

Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Καλημέρα!

: shape.png (22.44 KiB) Προβλήθηκε 178 φορές

#4

Με άλλο σχήμα. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

η

είναι διάμεσος και το

ύψος.

: Με του Ευκλείδη τα εργαλεία.png (11.69 KiB) Προβλήθηκε 167 φορές

\tan 2x = \dfrac{{AD}}{{DM}} = \dfrac{{bc}}{{aDM}} = \dfrac{{2bc}}{{2aDM}} = \dfrac{{2\dfrac{b}{c}}}{{\dfrac{{{c^2} - {b^2}}}{{{c^2}}}}} = \dfrac{{2\dfrac{b}{c}}}{{1 - {{\left( {\dfrac{b}{c}} \right)}^2}}} = \dfrac{{2\tan x}}{{1 - {{\tan }^2}x}}

Γιώργος Μήτσιος · #5

Καλημέρα σε όλους!
Νίκο , Μιχάλη και Γιώργο σας ευχαριστώ πολύ!
Μια απόδειξη με διαφορετικό σχήμα:

: 10-10 tan2x.png (11.29 KiB) Προβλήθηκε 83 φορές

Έχουμε

tanx = m

και

tan2x=OB=a

. Με εφαρμογή του θ. εσωτερικής διχοτόμου παίρνουμε

m=\dfrac{a}{1+k}

.

Αρκεί να δείξουμε

a=\dfrac{2m}{1-m^2}

. Με αντικατάσταση του

γίνεται

a=\dfrac{\dfrac{2a}{1+k}}{1-(\dfrac{a}{1+k})^2}

\Leftrightarrow 1-(\dfrac{a}{1+k})^2 =\dfrac{2}{1+k} \Leftrightarrow .. \Leftrightarrow k^2=a^2+1

που ισχύει.

Με του Ευκλείδη τα εργαλεία

Με του Ευκλείδη τα εργαλεία

Re: Με του Ευκλείδη τα εργαλεία

Re: Με του Ευκλείδη τα εργαλεία

Re: Με του Ευκλείδη τα εργαλεία

Re: Με του Ευκλείδη τα εργαλεία

Μέλη σε σύνδεση