Συμπτωματικό άθροισμα

KARKAR · #1

: Συμπτωματικό άθροισμα.png (8.21 KiB) Προβλήθηκε 130 φορές

Το ημικύκλιο του σχήματος διέρχεται από τις κορυφές του ορθογωνίου τριγώνου ABC

, με κάθετες

πλευρές AB=3 , AC=4

. Από το μέσο

, του τόξου $\overset{\frown}{AC}$ , διέρχεται ευθεία κάθετη προς την

,

η οποία τέμνει την προέκταση της

στο σημείο

. Υπολογίστε το άθροισμα :

SA+SM

.

#2

KARKAR έγραψε: Κυρ Οκτ 11, 2026 9:10 pm Συμπτωματικό άθροισμα.pngΤο ημικύκλιο του σχήματος διέρχεται από τις κορυφές του ορθογωνίου τριγώνου , με κάθετες

πλευρές . Από το μέσο , του τόξου $\overset{\frown}{AC}$ , διέρχεται ευθεία κάθετη προς την ,

η οποία τέμνει την προέκταση της στο σημείο . Υπολογίστε το άθροισμα : $SA+SM$ .

.
Ας το δούμε με Αναλυτική Γεωμετρία, που είναι θέμα ρουτίνας, αλλά βγαίνει και με όμοια τρίγωνα.

Με αρχή των αξόνων το

, είναι

και

C(0,4)

. Ένα τυχαίο σημείο N(x,y)

του κύκλου ικανοποιεί

NB\perp NC

, δηλαδή ως προς κλίσεις

\dfrac {4-y}{0-x}\cdot \dfrac {y}{x-3} =-1

. Άρα ο κύκλος έχει εξίσωση

x(x-3)=(4-y)y

.

Το

βρίσκεται στην μεσοκάθετο της

, δηλαδή στην y=2

και στον κύκλο, άρα λύνοντας είναι

M(-1,2)

.

Επειδή

MT\perp BC

και η

έχει κλίση $-\dfrac {4}{3}$ , η

έχει εξίσωση

y= \dfrac {3}{4}(x+1)+2

.

Έπεται απλά ότι

S\left ( -\dfrac {11}{3} , \, 0\right )

και

SM= \sqrt {\left ( 1-\dfrac {11}{3} \right )^2+2^2 }=-\dfrac {10}{3}

.

Άρα

\boxed {SA+SM= \dfrac {10}{3}+ \dfrac {11}{3}=7}

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: Κυρ Οκτ 11, 2026 9:10 pm Συμπτωματικό άθροισμα.pngΤο ημικύκλιο του σχήματος διέρχεται από τις κορυφές του ορθογωνίου τριγώνου , με κάθετες

πλευρές . Από το μέσο , του τόξου $\overset{\frown}{AC}$ , διέρχεται ευθεία κάθετη προς την ,

η οποία τέμνει την προέκταση της στο σημείο . Υπολογίστε το άθροισμα : $SA+SM$ .

Αφού

διχοτομεί τη γωνία ABC

και

CD \bot BM

το τρίγωνο CBD

είναι

ισοσκελές,άρα

BD=5 \Rightarrow AD=2

Με Π.Θ στο τρίγωνο

ADC \Rightarrow 4m^2=4^2+2^2 \Rightarrow m= \sqrt{5}

Ο Πτολεμαίος στο

CMAB

δίνει

4MB=8m \Rightarrow MB^2=20

Αλλά η

εφάπτεται του κύκλου

(M,S,A)

,άρα

MB^2=20=3(5+SD) \Rightarrow SD= \dfrac{5}{3}

Λόγω προφανούς ισότητας των σημειωμένων κόκκινων γωνιών κι επειδή οι γωνίες

MDA,MAD

είναι ίσες,τα τρίγωνα

MDS,MAB

είναι όμοια

Άρα

\dfrac{MS}{MB} = \dfrac{m}{3} \Rightarrow \dfrac{MS}{2 \sqrt{5} }= \dfrac{ \sqrt{5} }{3} \Rightarrow MS= \dfrac{10}{3}

Έτσι,

AS+MS= 2+ \dfrac{5}{3}+ \dfrac{10}{3}=7

: Συμπτωματικό άθροισμα.png (50.95 KiB) Προβλήθηκε 95 φορές

#4

KARKAR έγραψε: Κυρ Οκτ 11, 2026 9:10 pm Συμπτωματικό άθροισμα.pngΤο ημικύκλιο του σχήματος διέρχεται από τις κορυφές του ορθογωνίου τριγώνου , με κάθετες

πλευρές . Από το μέσο , του τόξου $\overset{\frown}{AC}$ , διέρχεται ευθεία κάθετη προς την ,

η οποία τέμνει την προέκταση της στο σημείο . Υπολογίστε το άθροισμα : $SA+SM$ .

\boxed{\cos \theta = \frac{3}{5} \Rightarrow \cos 2\theta = 2{{\cos }^2}\theta - 1 = - \frac{7}{{25}}\,\,\,\,\,\,(1)\,\,}

. Από το Θ. συνημίτονου στο

\vartriangle KEM

,

\boxed{M{E^2} = \frac{{25}}{4} + \frac{{25}}{4} - 2\frac{{25}}{4}\cos 2\theta = 16 \Rightarrow ME = 4\,\,\,(2)}

και άρα

TM = TE = 2

. Από το Π. Θ. στο

\vartriangle TKE

,

\boxed{KT = \frac{3}{2}}

: Συμπτωματικό άθροισμα.png (36.13 KiB) Προβλήθηκε 81 φορές

Επειδή ,

\boxed{\boxed{\frac{{TM}}{{MS}} = \frac{{TK}}{{KB}} \Rightarrow \frac{2}{a} = \frac{{3/2}}{{5/2}} \Rightarrow a = \frac{{10}}{3}}\,\,\,(3)}

. Δύναμη του

ως προς κύκλο,

\boxed{\frac{{10}}{3}(\frac{{10}}{3} + 4) = b(b + 3) \Rightarrow b = \frac{{11}}{3}\,\,\,(4)}

.

Τώρα απλά :

\boxed{a + b = \frac{{10 + 11}}{3} = 7}

Ιστοσελίδα · #5

KARKAR έγραψε: Κυρ Οκτ 11, 2026 9:10 pm Το ημικύκλιο του σχήματος διέρχεται από τις κορυφές του ορθογωνίου τριγώνου , με κάθετες

πλευρές . Από το μέσο , του τόξου $\overset{\frown}{AC}$ , διέρχεται ευθεία κάθετη προς την ,

η οποία τέμνει την προέκταση της στο σημείο . Υπολογίστε το άθροισμα : $SA+SM$ .

: shape.png (29.86 KiB) Προβλήθηκε 72 φορές

Συμπτωματικό άθροισμα

Συμπτωματικό άθροισμα

Re: Συμπτωματικό άθροισμα

Re: Συμπτωματικό άθροισμα

Re: Συμπτωματικό άθροισμα

Re: Συμπτωματικό άθροισμα

Μέλη σε σύνδεση