Ένα εγγράψιμο

KARKAR · #1

: Ένα εγγράψιμο.png (5.01 KiB) Προβλήθηκε 149 φορές

Κατασκευάστε ένα τετράπλευρο με τα στοιχεία του σχήματος .

#2

KARKAR έγραψε: Κυρ Οκτ 11, 2026 2:24 pm Ένα εγγράψιμο.pngΚατασκευάστε ένα τετράπλευρο με τα στοιχεία του σχήματος .

: Ενα εγγράψιμο_ok.png (20.41 KiB) Προβλήθηκε 126 φορές

#3

KARKAR έγραψε: Κυρ Οκτ 11, 2026 2:24 pm Ένα εγγράψιμο.pngΚατασκευάστε ένα τετράπλευρο με τα στοιχεία του σχήματος .

: Ενα εγγ.png (2.21 KiB) Προβλήθηκε 123 φορές

.
Μάλλον χάνω κάτι: Ένα τετριμμένο τέτοιο τετράπλευρο είναι το εικονιζόμενο ορθογώνο παραλληλόγραμμο. Έχει x=y=1

.

Αμέσως από κάτω θα γράψω μέθοδο που δίνει όλα τα τετράπλευρα όπως το ζητούμενο.

#4

KARKAR έγραψε: Κυρ Οκτ 11, 2026 2:24 pm Ένα εγγράψιμο.pngΚατασκευάστε ένα τετράπλευρο με τα στοιχεία του σχήματος .

: Ενα εγγ 2.png (18.13 KiB) Προβλήθηκε 117 φορές

.
Ανάλυση: Από Πυθαγόρειο δύο φορές είναι

x^2+(y+1)^2= AC^2=(2x)^2+y^2

(*). Από τις δύο ακριανές είναι

x^2= \dfrac {2y+1}{3}

(**) και άρα

AC^2= \dfrac {2y+1}{3} +(y+1)^2= \dfrac {3y^2+8y+4}{3}

(***)

Σύνθεση. Για τυχαίο y>0

κατασκευάζουμε ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές

BC=y+1

και, λόγω των (**), (***),

AB= x= \sqrt { \dfrac {2y+1}{3}}

και

AC = \sqrt { \dfrac {3y^2+8y+4}{3}}

. Συμπληρώνουμε τώρα το ορθογώνιο τρίγωνο ACD

με

AD=2x, \, DC=y

. Υπόψη ότι λόγω της (*), το ACD

είναι ορθογώνιο. Τελειώσαμε.

#5

KARKAR έγραψε: Κυρ Οκτ 11, 2026 2:24 pm Ένα εγγράψιμο.pngΚατασκευάστε ένα τετράπλευρο με τα στοιχεία του σχήματος .

Κατασκευή

Θεωρώ τρίγωνο $\vartriangle BKA$ , ορθογώνιο στο

,

και

AB = x > 0

, τυχαίο .

Γράφω τον κύκλο (B,x)

και έστω

το αντιδιαμετρικό του

. Γράφω νέο κύκλο ,

(A,2x)

.

Η ημιευθεία

τέμνει το μικρό κύκλο στο

και το μεγάλο στο

.

Η εφαπτομένη ευθεία του μεγάλου κύκλου στο

τέμνει την ευθεία

στο

Το τετράπλευρο ABCD

είναι αυτό που θέλω .

Απόδειξη

: Ενα εγγράψιμο_new_ok.png (25.54 KiB) Προβλήθηκε 89 φορές

Η γωνία $\xi$ είναι ίση με οποιαδήποτε εγγεγραμμένη στο μικρό τόξο της χορδής

( του μεγάλου κύκλου). Έτσι

\theta = \xi

αλλά η

\xi = \omega

( γιατί το τετράπλευρο ABKM

είναι εγγράψιμο . Αμεση συνέπεια :

\theta = \omega \Rightarrow CD = CK = y.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

Doloros έγραψε: Κυρ Οκτ 11, 2026 11:56 pm
KARKAR έγραψε: Κυρ Οκτ 11, 2026 2:24 pm Ένα εγγράψιμο.pngΚατασκευάστε ένα τετράπλευρο με τα στοιχεία του σχήματος .
Κατασκευή

Θεωρώ τρίγωνο $\vartriangle BKA$ , ορθογώνιο στο , και $AB = x > 0$ , τυχαίο .

Γράφω τον κύκλο και έστω το αντιδιαμετρικό του . Γράφω νέο κύκλο , $(A,2x)$ .

Η ημιευθεία τέμνει το μικρό κύκλο στο και το μεγάλο στο .

Η εφαπτομένη ευθεία του μεγάλου κύκλου στο τέμνει την ευθεία στο

Το τετράπλευρο είναι αυτό που θέλω .

Απόδειξη

Ενα εγγράψιμο_new_ok.png

Η γωνία $\xi$ είναι ίση με οποιαδήποτε εγγεγραμμένη στο μικρό τόξο της χορδής ( του μεγάλου κύκλου). Έτσι

$\theta = \xi$ αλλά η $\xi = \omega$ ( γιατί το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο . Αμεση συνέπεια : $\theta = \omega \Rightarrow CD = CK = y.$

#7

Doloros έγραψε: Κυρ Οκτ 11, 2026 11:56 pm
KARKAR έγραψε: Κυρ Οκτ 11, 2026 2:24 pm Ένα εγγράψιμο.pngΚατασκευάστε ένα τετράπλευρο με τα στοιχεία του σχήματος .
Κατασκευή

Θεωρώ τρίγωνο $\vartriangle BKA$ , ορθογώνιο στο , και $AB = x > 0$ , τυχαίο .

Γράφω τον κύκλο και έστω το αντιδιαμετρικό του . Γράφω νέο κύκλο , $(A,2x)$ .

Η ημιευθεία τέμνει το μικρό κύκλο στο και το μεγάλο στο .

Η εφαπτομένη ευθεία του μεγάλου κύκλου στο τέμνει την ευθεία στο

Το τετράπλευρο είναι αυτό που θέλω .

Απόδειξη

Ενα εγγράψιμο_new_ok.png (25.54 KiB) Προβλήθηκε 63 φορές

Η γωνία $\xi$ είναι ίση με οποιαδήποτε εγγεγραμμένη στο μικρό τόξο της χορδής ( του μεγάλου κύκλου). Έτσι

$\theta = \xi$ αλλά η $\xi = \omega$ ( γιατί το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο . Αμεση συνέπεια : $\theta = \omega \Rightarrow CD = CK = y.$

Ένα εγγράψιμο

Ένα εγγράψιμο

Re: Ένα εγγράψιμο

Re: Ένα εγγράψιμο

Re: Ένα εγγράψιμο

Re: Ένα εγγράψιμο

Re: Ένα εγγράψιμο

Re: Ένα εγγράψιμο

Μέλη σε σύνδεση