Αλματώδης πρόοδος

KARKAR · #1

: Αλματώδης πρόοδος.png (16.05 KiB) Προβλήθηκε 114 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

, το σημείο

είναι το συμμετρικό του

ως προς

και το

το συμμετρικό του

ως προς

. Η

τέμνει τις AC , BC

στα

.

Δείξτε ότι τα τμήματα

TQ , QP , ST

, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου .

#2

KARKAR έγραψε: Τρί Οκτ 13, 2026 5:38 pm Αλματώδης πρόοδος.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , το σημείο είναι το συμμετρικό του ως προς

και το το συμμετρικό του ως προς . Η τέμνει τις στα .

Δείξτε ότι τα τμήματα $TQ , QP , ST$ , είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου .

Με την επιλογή του πιο κάτω συστήματος αξόνων και a,b > 0

προκύπτουν :

\boxed{T(0,\frac{{2a{b^2}}}{{3{a^2} + {b^2}}})}

,

\boxed{Q(\frac{{b(3{a^2} + {b^2})}}{{3({a^2} + {b^2})}},\frac{{4a{b^2}}}{{3({a^2} + {b^2})}})}

και

\boxed{P(\frac{{2{a^2}b}}{{{a^2} + {b^2}}},\frac{{2a{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}})}

: Αλματώδης πρόοδος_Αναλυτική.png (25.63 KiB) Προβλήθηκε 84 φορές

Τώρα εύκολα μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι

2QP = TQ + ST

.

: Αλματώδης πρόοδος_ok.png (29.23 KiB) Προβλήθηκε 79 φορές

STOPJOHN · #3

KARKAR έγραψε: Τρί Οκτ 13, 2026 5:38 pm Αλματώδης πρόοδος.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , το σημείο είναι το συμμετρικό του ως προς

και το το συμμετρικό του ως προς . Η τέμνει τις στα .

Δείξτε ότι τα τμήματα $TQ , QP , ST$ , είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου .

Eστω

ST=x,TQ=y,QP=\omega ,SA=AB=BP=c

Απο τις συμμετρίες είναι

SA=AB=BP=c,AL=CP=a,CB=SC=a,\hat{SCA}=\hat{ACB}=\hat{BCP}=90-\varphi , \hat{\varphi }=\hat{ACB}

Από τα τρίγωνα

SPB,SAP

αντίστοιχα είναι

c^{2}+(x+y+\omega )^{2}=2AP^{2}+2c^{2},(x+y)^{2}.AP^{2}+c^{2}\omega = (x+y+\omega )(\omega ^{2}+(x+y)\omega )

με απαλοιφή του

AP,c^{2}(\omega -\frac{x+y}{2})=(x+y+\omega )^{2}(\omega -\dfrac{x+y}{2})\Rightarrow 2\omega =x+y,x+y+\omega \neq c,

SBP,c< x+y+\omega < 3c

τωρα βλέπω και λύση με θεωρήματα διχοτόμων κ.λ.π

#4

KARKAR έγραψε: Τρί Οκτ 13, 2026 5:38 pm Αλματώδης πρόοδος.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , το σημείο είναι το συμμετρικό του ως προς

και το το συμμετρικό του ως προς . Η τέμνει τις στα .

Δείξτε ότι τα τμήματα $TQ , QP , ST$ , είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου .

: Αλμα.png (21.89 KiB) Προβλήθηκε 69 φορές

.

Θέτουμε

CA=h=CP, \, SA=AB=BP=a, \, BD=p

. Οπότε, επειδή η

είναι διχοτόμος της $\widehat {ACD}$ έχουμε

\dfrac {a}{p} = \dfrac {h}{CD}

, δηλαδή

\dfrac {a}{p} \cdot \dfrac {CD}{h}=1

(*)

Από Μενέλαο στο SPD

με διατέμνουσα την

και από την (*) έχουμε

1= \dfrac {PQ}{QS} \cdot \dfrac {2a}{p} \cdot \dfrac {CD}{h} = \dfrac {2PQ}{QS}

, άρα

2PQ=QS

.

Το τελευταίο είναι το αποδεικτέο αφού

QS=ST+TQ

.

#5

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τετ Οκτ 14, 2026 10:42 am
KARKAR έγραψε: Τρί Οκτ 13, 2026 5:38 pm Αλματώδης πρόοδος.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , το σημείο είναι το συμμετρικό του ως προς

και το το συμμετρικό του ως προς . Η τέμνει τις στα .

Δείξτε ότι τα τμήματα $TQ , QP , ST$ , είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου .
Αλμα.png
.

Θέτουμε $CA=h=CP, \, SA=AB=BP=a, \, BD=p$ . Οπότε, επειδή η είναι διχοτόμος της $\widehat {ACD}$ έχουμε

$\dfrac {a}{p} = \dfrac {h}{CD}$ , δηλαδή $\dfrac {a}{p} \cdot \dfrac {CD}{h}=1$ (*)

Από Μενέλαο στο με διατέμνουσα την και από την (*) έχουμε

$1= \dfrac {PQ}{QS} \cdot \dfrac {2a}{p} \cdot \dfrac {CD}{h} = \dfrac {2PQ}{QS}$ , άρα $2PQ=QS$ .

Το τελευταίο είναι το αποδεικτέο αφού $QS=ST+TQ$ .

Μου αρέσει

KARKAR · #6

: Σκελετός.png (14.64 KiB) Προβλήθηκε 51 φορές

Ο "σκελετός" της άσκησης ...

#7

KARKAR έγραψε: Τρί Οκτ 13, 2026 5:38 pm Αλματώδης πρόοδος.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο , το σημείο είναι το συμμετρικό του ως προς

και το το συμμετρικό του ως προς . Η τέμνει τις στα .

Δείξτε ότι τα τμήματα $TQ , QP , ST$ , είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου .

: Αλμα 3.png (20.95 KiB) Προβλήθηκε 27 φορές

.
Aπό την προφανή ισότητα των ορθογωνίων τριγώνων

ABC, \, BPC

έχουμε ότι

SA=AB=BP=a

. Επίσης έχουμε ότι η

διχοτομεί την

\widehat {ABP}

. Άρα από το θεώρημα των διχοτόμων είναι

\dfrac {SQ}{QP}= \dfrac {SB}{BP}= \dfrac {2a}{a}=2

, από όπου το ζητούμενο.

Αλματώδης πρόοδος

Αλματώδης πρόοδος

Re: Αλματώδης πρόοδος

Re: Αλματώδης πρόοδος

Re: Αλματώδης πρόοδος

Re: Αλματώδης πρόοδος

Re: Αλματώδης πρόοδος

Re: Αλματώδης πρόοδος

Μέλη σε σύνδεση