Οπωσδήποτε τριαντάρα

KARKAR · #1

: Οπωσδήποτε τριαντάρα.png (17.76 KiB) Προβλήθηκε 102 φορές

Στο εσωτερικό του τμήματος

θεωρούμε σημείο

, με

AC>CB

και γράφουμε τους κύκλους

με διαμέτρους

και

. Η κάθετη της

στο

και η μία κοινή εξωτερική εφαπτομένη

,

τέμνονται στο σημείο

. Αν

\widehat{SCA}=30^0

, υπολογίστε τον λόγο :

\dfrac{AC}{CB}

.

#2

KARKAR έγραψε: Τετ Οκτ 14, 2026 12:05 pm Οπωσδήποτε τριαντάρα.pngΣτο εσωτερικό του τμήματος θεωρούμε σημείο , με $AC>CB$ και γράφουμε τους κύκλους

με διαμέτρους και . Η κάθετη της στο και η μία κοινή εξωτερική εφαπτομένη ,

τέμνονται στο σημείο . Αν $\widehat{SCA}=30^0$ , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AC}{CB}$ .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

STOPJOHN · #3

KARKAR έγραψε: Τετ Οκτ 14, 2026 12:05 pm Οπωσδήποτε τριαντάρα.pngΣτο εσωτερικό του τμήματος θεωρούμε σημείο , με $AC>CB$ και γράφουμε τους κύκλους

με διαμέτρους και . Η κάθετη της στο και η μία κοινή εξωτερική εφαπτομένη ,

τέμνονται στο σημείο . Αν $\widehat{SCA}=30^0$ , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AC}{CB}$ .

Εστω

AS=SP=x,PN=NC=NT=y,AO=R,CK=r, CN\perp AB,OI\perp AB,

ASC,4x^{2}=x^{2}+4R^{2}\Leftrightarrow x=\dfrac{2\sqrt{3}}{3} R,y=\sqrt{Rr},IO=\dfrac{x+y}{2}=\dfrac{1}{2}(\dfrac{2\sqrt{3R}}{3}+\sqrt{Rr}),IP=\dfrac{x-y}{2},IO^{2} =IP^{2}+OP^{2}\Rightarrow \dfrac{R}{r}=\dfrac{4}{3}

#4

KARKAR έγραψε: Τετ Οκτ 14, 2026 12:05 pm Οπωσδήποτε τριαντάρα.pngΣτο εσωτερικό του τμήματος θεωρούμε σημείο , με $AC>CB$ και γράφουμε τους κύκλους

με διαμέτρους και . Η κάθετη της στο και η μία κοινή εξωτερική εφαπτομένη ,

τέμνονται στο σημείο . Αν $\widehat{SCA}=30^0$ , υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AC}{CB}$ .

SP = AS = \dfrac{{2R}}{{\sqrt 3 }},PT = 2\sqrt {Rr}

και αν

είναι το μέσο του PT,

τότε

PM=MC=MT=\sqrt{Rr}.

Είναι ακόμα,

A{S^2} = S{O^2} - {R^2} \Leftrightarrow SO = \dfrac{{R\sqrt 7 }}{{\sqrt 3 }}

ΚΑΙ

P{M^2} = M{O^2} - {R^2} \Leftrightarrow MO = \sqrt {R(R + r)}

: οπωσδήποτε 30.png (19.77 KiB) Προβλήθηκε 47 φορές

Ο Πτολεμαίος διαδοχικά στα εγγράψιμα τετράπλευρα

ASPO, CMPO

δίνει:

\dfrac{{4{R^2}}}{{\sqrt 3 }} = AP \cdot SO = AP\dfrac{{R\sqrt 7 }}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow

\boxed{AP=\frac{4R}{\sqrt 7}}

2R\sqrt {R + r} = PC \cdot MO = PC\sqrt {R(R + r)} \Leftrightarrow

\boxed{PC=\frac{2R\sqrt r}{\sqrt{R+r}}}

Από

και Πυθαγόρειο στο PAC

παίρνω,

\dfrac{{16{R^2}}}{7} + \dfrac{{4{R^2}r}}{{R + r}} = 4{R^2} \Leftrightarrow

\boxed{\frac{R}{r}=\frac{4}{3}}

Οπωσδήποτε τριαντάρα

Οπωσδήποτε τριαντάρα

Re: Οπωσδήποτε τριαντάρα

Re: Οπωσδήποτε τριαντάρα

Re: Οπωσδήποτε τριαντάρα

Μέλη σε σύνδεση