Μικροϊσότητα

KARKAR · #1

: Μικροϊσότητα.png (17.28 KiB) Προβλήθηκε 75 φορές

Το ισοσκελές τρίγωνο ABC

είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (O)

. Αν η απόσταση

, του περικέντρου

από το έγκεντρο του τριγώνου , ισούται με το βέλος

της χορδής - βάσης

, βρείτε το $\cos A$ .

#2

KARKAR έγραψε: Πέμ Οκτ 15, 2026 5:46 am Το ισοσκελές τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο . Αν η απόσταση , του περικέντρου

από το έγκεντρο του τριγώνου , ισούται με το βέλος της χορδής - βάσης , βρείτε το $\cos A$ .

Καλημέρα από Γρεβενά...

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Μικροϊσότητα 1.png (25.65 KiB) Προβλήθηκε 63 φορές

Από το τρίγωνο $\displaystyle{MSC}$ θα είναι:

MS=\frac{a}{2}tan\frac{A}{2} \ \ (1)

Από το τρίγωνο

IBM

θα είναι:

IM=\frac{a}{2}tan\frac{B}{2} \ \ (2)

Τέλος από το τρίγωνο

OBM

θα είναι:

\frac{a}{2}= OMtan(ω)=OMtan(A_1+B_1)=OMtanA \ \ (3)

Η σχέση (3) δίνει:

OM=\frac{\frac{a}{2}}{tanA}=\frac{a}{2tanA} \ \ (4)

Έτσι, από τις (2) και (4), θα είναι:

OI=OM-IM=\frac{a}{2tanA}-\frac{a}{2}tan\frac{B}{2} \ \ (5)

Επίσης από την (1) θα είναι:

MS=\frac{a}{2}tan\frac{A}{2} \ \ (6)

Τέλος από τη δοθείσα ισότητα

OI=MS

και τις (5) και (6) προκύπτει τελικά:

\frac{1}{tanA}-tan\frac{B}{2} =tan\frac{A}{2} \ \ (7)

Η τριγωνομετρική αυτή σχέση μετά από πράξεις εύκολες καταλήγει στην ακόλουθη:

2sin^2\frac{A}{2} +2sin\frac{A}{2} -1=0

η οποία έχει λύση την ακόλουθη:

sin\frac{A}{2}=\frac{\sqrt{3}-1}{2} \ \ (8)

Από την (8) τελικά θα είναι:

cosA=\sqrt{3}-1 \ \ (9)

Δηλαδή:

A \approx 42.94^o

Σημείωση: Με την τιμή αυτή κατασκευάστηκε και το ανωτέρω σχήμα.

Κώστας Δόρτσιος

#3

KARKAR έγραψε: Πέμ Οκτ 15, 2026 5:46 am Μικροϊσότητα.pngΤο ισοσκελές τρίγωνο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο . Αν η απόσταση , του περικέντρου

από το έγκεντρο του τριγώνου , ισούται με το βέλος της χορδής - βάσης , βρείτε το $\cos A$ .

R - r = 2OI \Leftrightarrow OI = SM = \frac{{R - r}}{2} \Leftrightarrow {\left( {\frac{{R - r}}{2}} \right)^2} = O{I^2} = {R^2} - 2Rr,

απ' όπου προκύπτει

\boxed{\frac{r}{R}=-3+2\sqrt 3}

: Μικροϊσότητα.png (12.71 KiB) Προβλήθηκε 51 φορές

B{S^2} = 2R \cdot SM = 2R\frac{{R - r}}{2} = R(R - 2r) \Leftrightarrow BS = \sqrt {R(R - 2r)}

\sin \dfrac{A}{2} = \dfrac{{BS}}{{2R}} = \dfrac{1}{2}\sqrt {1 - \dfrac{r}{R}} \mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} \sin \dfrac{A}{2} = \dfrac{{\sqrt 3 - 1}}{2} = \sqrt {\dfrac{{1 - \cos A}}{2}} \Leftrightarrow

\boxed{\cos A=\sqrt 3-1}

Μικροϊσότητα

Μικροϊσότητα

Re: Μικροϊσότητα

Re: Μικροϊσότητα

Μέλη σε σύνδεση