Σταθερότητα και πρόοδος

KARKAR · #1

: Σταθερότητα και πρόοδος.png (18.64 KiB) Προβλήθηκε 77 φορές

Στους ημιάξονες Ox , Oy

, βρίσκονται σημεία A(a,0) , B(0,b)

, με :

. Κύκλοι

και

ξανατέμνουν

τους Ox , Oy

, στα σημεία C , D

και

αντίστοιχα . Α) Δείξτε ότι οι μεσοκάθετοι των CE , DF

διέρχονται από

το ίδιο ( σταθερό ) σημείο

, ενώ και η μεσοκάθετος του

διέρχεται από σταθερό σημείο

.

Β) Αν :

a=8 , b=6

, για ποια

τα τμήματα

EC , CF , FD

να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου ;

#2

KARKAR έγραψε: Σάβ Οκτ 17, 2026 9:08 am Σταθερότητα και πρόοδος.pngΣτους ημιάξονες , βρίσκονται σημεία , με : . Κύκλοι και ξανατέμνουν

τους , στα σημεία και αντίστοιχα . Α) Δείξτε ότι οι μεσοκάθετοι των διέρχονται από

το ίδιο ( σταθερό ) σημείο , ενώ και η μεσοκάθετος του διέρχεται από σταθερό σημείο .

Β) Αν : $a=8 , b=6$ , για ποια τα τμήματα $EC , CF , FD$ να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου ;

,
A) Είναι

C(a-r,0), \, D(a+r,0), \, E(0,\, b-r), \, F(0,\,b+r)

. Άρα η

έχει κλίση

-\dfrac {b-r}{a-r}

και το μέσον του

είναι το

\left ( \dfrac {a-r}{2}, \, \dfrac {b-r}{2} \right )

, Συνεπώς η μεσοκάθετος του

έχει εξίσωση

y= \dfrac {a-r}{b-r} \left ( x- \dfrac {a-r}{2}\right ) +\dfrac {b-r}{2}

Όμοια η μεσοκάθετος του

έχει εξίσωση

y= \dfrac {a+r}{b+r} \left ( x- \dfrac {a+r}{2}\right ) +\dfrac {b+r}{2}

Λύνοντας το σύστημα θα βρούμε ότι τέμνονται στο σημείο

S\left (\dfrac {a-b}{2}, \, \dfrac {b-a}{2} \right )

. To οπoíο είναι σταθερό, ως ανεξάρτητο του

.

B) Θα γράψω σε λίγο την λύση του

. Πρόκειται για τετριμμένο θέμα πολλών πράξεων, αφύ ξέρουμε τις συντεταγμένες όλων των απαραίτητων σημείων.

Δυστυχώς πρόκειται για άσκηση πολλών πράξεων, αλλά ρουτίνας, χωρίς φαντασία, που αποτρέπει τους μαθητές μας από τα Μαθηματικά.

#3

.
Σuνεχίζω με το B) το οποίο ομολογώ ότι δεν βλέπω τον λόγο ύπαρξής του, αν θέλουμε να κάνουμε ενδιαφέροντα Μαθηματικά στο φόρουμ.

Δεδομένου ότι είναι

C(8-r,0), \, D(8+r,0), \, E(0,\, 6-r), \, F(0,\,6+r)

, η ζητούμενη

CE+DF=2CF

γράφεται

\sqrt {(6-r)^2+(8-r)^2 }+ \sqrt {(6+r)^2+(8+r)^2 }= 2\sqrt {(8-r)^2+(6+r)^2 }

Με απλές αλλά επίπονες στην πληκτρολόγιση πράξεις θα βρούμε τις ρίζες

r=0, \, r= \dfrac {1}{4}(53-7\sqrt {41})

και

r= \dfrac {1}{4}(53+7\sqrt {41})

. Κρατάμε την μεσαία,

\approx 2,04

.

Σταθερότητα και πρόοδος

Σταθερότητα και πρόοδος

Re: Σταθερότητα και πρόοδος

Re: Σταθερότητα και πρόοδος

Μέλη σε σύνδεση