ΣΤΕΡΕΑ ΓΩΝΙΑ

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Θα ήθελα να αναδείξω την έννοια της στερεάς γωνίας, μια έννοια με μεγάλη χρησιμότητα στον Ηλεκτρομαγνητισμό.
Παραθέτω ένα μάλλον αρχικό πρόβλημα.
Δίνεται κανονικό τετράεδρο ακμής α. Να βρεθεί η στερεά γωνία της κορυφής του κώνου που έχει κορυφή το κέντρο του τετραέδρου και βάση τον περιγεγραμμένο κύκλο μιας έδρας του.
Γνωρίζουμε ότι:
Το ύψος του κανονικού τετραέδρου

\upsilon= \frac{a\sqrt{6}}{3}

Η ακτίνα της περιγεγραμμένης σφαίρας του κανονικού τετραέδρου

R=\frac{a\sqrt{6}}{4}

Άρα

\upsilon=\frac{4R}{3}

Το κέντρο της περιγεγραμμένης σφαίρας είναι το κέντρο του τετραέδρου. Το σημείο αυτό απέχει από την οποιαδήποτε έδρα το 1/4 του ύψους που αντιστοιχεί σε αυτήν.
Aν

το ύψος της μονοβασικής σφαιρικής ζώνης που έχει βάση μια έδρα του τετραέδρου ισχύει

h=R-\frac{1}{4} υ=R-\frac{1}{4}\cdot \frac{4R}{3}=R-\frac{1}{3} R=\frac{2R}{3}

Αν

το εμβαδόν της προαναφερθείσης σφαιρικής ζώνης ισχύει

Ε=2πRh=2πR\frac{2R}{3}=\frac{4\pi\cdot R^{2}}{3}

Συνεπώς η ζητούμενη στερεά γωνία είναι ίση με

\frac{E}{R^{2}}= \frac{4\pi}{3}

Η μονάδα μέτρησης της στερεάς γωνίας λέγεται στερεακτίνιο.

#2

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: Σάβ Οκτ 17, 2026 9:30 pm Θα ήθελα να αναδείξω την έννοια της στερεάς γωνίας, μια έννοια με μεγάλη χρησιμότητα στον Ηλεκτρομαγνητισμό.
Παραθέτω ένα μάλλον αρχικό πρόβλημα.
Δίνεται κανονικό τετράεδρο ακμής α. Να βρεθεί η στερεά γωνία της κορυφής του κώνου που έχει κορυφή το κέντρο του τετραέδρου και βάση τον περιγεγραμμένο κύκλο μιας έδρας του.
Γνωρίζουμε ότι:
Το ύψος του κανονικού τετραέδρου $\upsilon= \frac{a\sqrt{6}}{3}$
Η ακτίνα της περιγεγραμμένης σφαίρας του κανονικού τετραέδρου $R=\frac{a\sqrt{6}}{4}$
Άρα $\upsilon=\frac{4R}{3}$
Το κέντρο της περιγεγραμμένης σφαίρας είναι το κέντρο του τετραέδρου. Το σημείο αυτό απέχει από την οποιαδήποτε έδρα το 1/4 του ύψους που αντιστοιχεί σε αυτήν.
Aν το ύψος της μονοβασικής σφαιρικής ζώνης που έχει βάση μια έδρα του τετραέδρου ισχύει
$h=R-\frac{1}{4} υ=R-\frac{1}{4}\cdot \frac{4R}{3}=R-\frac{1}{3} R=\frac{2R}{3}$
Αν το εμβαδόν της προαναφερθείσης σφαιρικής ζώνης ισχύει
$Ε=2πRh=2πR\frac{2R}{3}=\frac{4\pi\cdot R^{2}}{3}$
Συνεπώς η ζητούμενη στερεά γωνία είναι ίση με
$\frac{E}{R^{2}}= \frac{4\pi}{3}$
Η μονάδα μέτρησης της στερεάς γωνίας λέγεται στερεακτίνιο.

Τηλέμαχε καλησπέρα από Γρεβενά...

Παραθέτω μερικά σχήματα για το ανωτέρω θέμα που πραγματεύεται

το ενδιαφέρον θέμα του "στερακτινίου" δηλαδή του στερεού ακτινίου.

Σχήμα 1ο

: Τετράεδρο - κώνος 1.png (33.47 KiB) Προβλήθηκε 91 φορές

Στο σχήμα αυτό φαίνεται η αρχή της δημιουργίας του κώνου καθώς και της

αντίστοιχης σφαιρικής ζώνης.

Σχήμα 2ο

: Τετράεδρο - κώνος 2.png (65.08 KiB) Προβλήθηκε 91 φορές

Εδώ φαίνεται η ολοκλήρωση των επιφανειών αυτών.

Σχήμα 3ο

: Τετράεδρο - κώνος 3.png (46.55 KiB) Προβλήθηκε 91 φορές

Στο σχήμα αυτό φαίνεται και το αρχικό τετράεδρο καθώς και οι τομές

των τριών εδρών αυτού από την κωνική επιφάνεια οι οποίες προφανώς

είναι υπερβολές.

Τέλος παραθέτω και το δυναμικό σχήμα για να το απολαύσουν εκείνοι

που αρέσκονται με τέτοια θέματα.

https://www.geogebra.org/m/x2gehvca

Κώστας Δόρτσιος

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #3

Σε ευχαριστώ Κώστα για το υπέροχο σχήμα. Σε ευχαριστώ για τον κόπο και το χρόνο σου. Δίχως το σχήμα σου, το θέμα που πρότεινα θα ήταν εγκυκλοπαιδικού χαρακτήρα. Τώρα είναι ζωντανό...

ΣΤΕΡΕΑ ΓΩΝΙΑ

ΣΤΕΡΕΑ ΓΩΝΙΑ

Re: ΣΤΕΡΕΑ ΓΩΝΙΑ

Re: ΣΤΕΡΕΑ ΓΩΝΙΑ

Μέλη σε σύνδεση