Τρισμέγιστο

KARKAR · #1

: tris.png (6.74 KiB) Προβλήθηκε 89 φορές

Το ορθογώνιο τραπέζιο ABCD

, έχει βάσεις

AB=6 , CD=4

και ύψος

. Ευθεία παράλληλη

προς τις βάσεις τέμνει τις μη παράλληλες πλευρές και τις διαγωνίους κατά σειρά στα σημεία

S , T , Q , P

.

Υπολογίστε το μέγιστο του τριπλού γινομένου :

ST\cdot TQ \cdot QP

.

#2

Καλημέρα σε όλους.

: 20-10-2026 Γεωμετρία.jpg (23.98 KiB) Προβλήθηκε 81 φορές

Έστω

. Οι διαγώνιοι τέμνονται στο

. Έστω

KL, CM

ύψη στην

.

Από την ομοιότητα των

KLB, ADB

και των

AKL, ACM

είναι

\dfrac{{KL}}{5} = \dfrac{{BL}}{6},\;\;\dfrac{{KL}}{5} = \dfrac{{AL}}{4}

οπότε

\dfrac{{BL}}{6} = \dfrac{{AL}}{4} \Leftrightarrow \dfrac{{6 - AL}}{6} = \dfrac{{AL}}{4} \Leftrightarrow AL = \dfrac{{12}}{5}

, άρα

KL = 3

Είναι, προφανώς,

ST = QP

(γνωστή άσκηση στη γεωμετρία Α΄ Λυκείου).

Από την ομοιότητα των

AST, ADC

και

KTQ, AKB

έχουμε

\dfrac{{ST}}{4} = \dfrac{x}{5} \Leftrightarrow ST = \dfrac{4}{5}x,\;\;\dfrac{{TQ}}{6} = \dfrac{{3 - x}}{3} \Leftrightarrow TQ = 6 - 2x

Οπότε

ST \cdot TQ \cdot QP = \dfrac{{16}}{{25}}{x^2}\left( {6 - 2x} \right) = \dfrac{{32}}{{25}}\left( { - {x^3} + 3{x^2}} \right)

Η συνάρτηση

f\left( x \right) = - {x^3} + 3{x^2},\;\;x \in \left( {0,5} \right)

έχει παράγωγο

f'\left( x \right) = - 3{x^2} + 6x = - 3x\left( {x - 2} \right)

και παρουσιάζει μέγιστο για x = 2

.

Οπότε

ST \cdot TQ \cdot Q{P_{\max }} = \dfrac{{128}}{{25}}

.

ΣΧΟΛΙΟ: To

προσδιορίζεται και με Αναλυτική Γεωμετρία (σημείο τομής ευθειών), αλλά προτίμησα "καθαρή" γεωμετρική προσέγγιση.

KARKAR · #3

... όπως θα έλεγε και Γ. Ρίζος το γινόμενο :

x\cdot x \cdot (6-2x)

, αφού :

x+x+6-2x=6

,

μεγιστοποιείται για

x=\dfrac{6}{3}=2

#4

KARKAR έγραψε: Τρί Οκτ 20, 2026 11:06 am ... όπως θα έλεγε και Γ. Ρίζος το γινόμενο : $x\cdot x \cdot (6-2x)$ , αφού : $x+x+6-2x=6$ ,

μεγιστοποιείται για $x=\dfrac{6}{3}=2$

Προφανώς, Θανάση.
Ωραία χρόνια....
Είπα να περάσω στην ηλεκτροκίνηση...

Επίσης, για να θυμούνται οι παλιοί και να μαθαίνουν οι νέοι:

Η παράσταση

-x^3+3x^2= x^2 \cdot (3-x)

, επειδή

x + 3 - x = 3

, σταθερό, έχει μέγιστο όταν

\dfrac{x}{2}=3-x\Leftrightarrow x=6-2x\Leftrightarrow x=2

.

Ο παρονομαστής στο πρώτο πηλίκο είναι ο εκθέτης του πρώτου παράγοντα.

#5

KARKAR έγραψε: Τρί Οκτ 20, 2026 7:26 am tris.pngΤο ορθογώνιο τραπέζιο , έχει βάσεις $AB=6 , CD=4$ και ύψος . Ευθεία παράλληλη

προς τις βάσεις τέμνει τις μη παράλληλες πλευρές και τις διαγωνίους κατά σειρά στα σημεία $S , T , Q , P$ .

Υπολογίστε το μέγιστο του τριπλού γινομένου : $ST\cdot TQ \cdot QP$ .

Λίγο διαφορετικά για τον υπολογισμό των τμημάτων.

\dfrac{{ST}}{4} = \dfrac{x}{5} = \dfrac{{BP}}{{BC}} = \dfrac{{QP}}{4} \Leftrightarrow

\boxed{ST=QP=\frac{4x}{5}}

: Τρισμέγιστο.png (10.79 KiB) Προβλήθηκε 36 φορές

Η παρακάτω σχέση ισχύει σε κάθε τραπέζιο,

SP = \dfrac{{AS \cdot DC + DS \cdot AB}}{{AD}},

απ' όπου

SP=\dfrac{30-2x}{5}.

Άρα,

\boxed{TQ=SP-2ST=2(3-x)}

Τα υπόλοιπα όπως ο Γιώργος ή ο Θανάσης.

Τρισμέγιστο

Τρισμέγιστο

Re: Τρισμέγιστο

Re: Τρισμέγιστο

Re: Τρισμέγιστο

Re: Τρισμέγιστο

Μέλη σε σύνδεση