Εμβαδόν από ίχνη

KARKAR · #1

: Εμβαδόν από ίχνη.png (6.56 KiB) Προβλήθηκε 89 φορές

Στο τρίγωνο ABC

, με :

, φέρουμε το ύψος

, την διχοτόμο

και την διάμεσο

. Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου DEM

.

#2

KARKAR έγραψε: Τετ Οκτ 21, 2026 8:00 am Εμβαδόν από ίχνη.pngΣτο τρίγωνο , με : , φέρουμε το ύψος , την διχοτόμο

και την διάμεσο . Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου .

Εύκολα βρίσκω AD=3

και

(ABC)=12.

Αλλά,

MD||AC \Leftrightarrow \dfrac{{(BMD}}{{(ABC)}} = {\left( {\dfrac{{MD}}{{AC}}} \right)^2} = \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow

\boxed{(BMD)=3}

: Εμβαδόν από ίχνη.png (15.77 KiB) Προβλήθηκε 80 φορές

Λόγω της παραλληλίας

MD||AE,

τα σημεία

ισαπέχουν της

κι επειδή

είναι το μέσο

της AB,

θα είναι

AL=BK,

που σημαίνει ότι

\boxed{(DEM)=(BMD)=3}

edit: Η διχοτόμος δεν παίζει κανένα ρόλο. Το μπορεί να είναι οποιοδήποτε σημείο της πλευράς

#3

KARKAR έγραψε: Τετ Οκτ 21, 2026 8:00 am Εμβαδόν από ίχνη.pngΣτο τρίγωνο , με : , φέρουμε το ύψος , την διχοτόμο

και την διάμεσο . Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου .

.
Eίναι

(ABC) = \dfrac {1}{2} BC \cdot AD = \dfrac {8\cdot 3}{2} =12

Από το Θεώρημα της διχοτόμου θα βρούμε

AE= \dfrac{25}{13}, CE= \dfrac{40}{13}

. Επίσης είναι

BM=AM= \dfrac{5}{2}, BD= CD=4

. Είναι λοιπόν, συγκρίνοντας με το ABC

,

(BDM)= \dfrac{1}{4} (ABC), \, (AME)= \dfrac{ \dfrac{5}{2}\cdot \dfrac{25}{13}}{5\cdot 5} (ABC), \, (CDE) = \dfrac{ \dfrac{40}{13}\cdot 4}{5\cdot 8}(ABC)

Προσθέτοντας τα τρία θα βρούμε

\dfrac{3}{4} (ABC)

. To υπόλοιπο είναι

(DEM)= \dfrac{1}{4} (ABC)= \dfrac{1}{4} \cdot 12= 3

.

#4

KARKAR έγραψε: Τετ Οκτ 21, 2026 8:00 am Εμβαδόν από ίχνη.pngΣτο τρίγωνο , με : , φέρουμε το ύψος , την διχοτόμο

και την διάμεσο . Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου .

: Emv.png (12.86 KiB) Προβλήθηκε 63 φορές

.
Πιο απλά: Επειδή

MD|| AC

, δύο από τα μικρά τρίγωνα μαζί έχουν εμβαδόν

(AME)+(CDE)= (ADE)+(CDE)= (ADC) = \dfrac {1}{2} (ABC)

. Επίσης

(BDE)= \dfrac {1}{4} (ABC)

. Οπότε τα τρία λευκά τρίγωνα μαζί έχουν εμβαδόν

\dfrac {3}{4} (ABC)

, και μένει

(DEM) = \dfrac {1}{4} (ABC)= 3

.

Δεν χρησιμοποιήθηκε ότι η

είναι διχοτόμος, όπως σωστά επισήμανε ο Γιώργος.

Εμβαδόν από ίχνη

Εμβαδόν από ίχνη

Re: Εμβαδόν από ίχνη

Re: Εμβαδόν από ίχνη

Re: Εμβαδόν από ίχνη

Μέλη σε σύνδεση