Άθροισμα τετραγώνων

KARKAR · #1

: Άθροισμα τετραγώνων.png (10.84 KiB) Προβλήθηκε 133 φορές

Στο ισοσκελές τρίγωνο ABC

, με βάση BC=8

και ύψος

AM=2

, το

είναι το μέσο του

.

Η

τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου στο σημείο

. Υπολογίστε το άθροισμα : SB^2+SC^2

.

#2

KARKAR έγραψε: Πέμ Οκτ 22, 2026 8:05 am Άθροισμα τετραγώνων.pngΣτο ισοσκελές τρίγωνο , με βάση και ύψος $AM=2$ , το είναι το μέσο του .

Η τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου στο σημείο . Υπολογίστε το άθροισμα : .

: αθ τετ.png (17.99 KiB) Προβλήθηκε 124 φορές

.
Μπορούμε και καλύτερα, συγκεκριμένα, να βρούμε τα

SB,\,SC

χωριστά.

Δίνεται

ΒΜ=4, \, MD=DC=2

, άρα

AB=AC=2\sqrt 5

και

AD=2\sqrt 2

. Έτσι από τα όμοια τρίγωνα

ABD, SDC

έχουμε

\dfrac {SC}{2\sqrt 5}=\dfrac {2}{2\sqrt 2}

, από όπου

\boxed {SC=\sqrt {10}}

(*)

Όμοια, από τα όμοια τρίγωνα

ADC, \, BDS

είναι

\dfrac {BS}{2\sqrt 5}=\dfrac {6}{2\sqrt 2}

, από όπου

\boxed {SB=3\sqrt {10}}

(**).

Oπότε από τις (*), (**) το ζητούμενο άθροισμα είναι 100

.

#3

KARKAR έγραψε: Πέμ Οκτ 22, 2026 8:05 am Άθροισμα τετραγώνων.pngΣτο ισοσκελές τρίγωνο , με βάση και ύψος $AM=2$ , το είναι το μέσο του .

Η τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου στο σημείο . Υπολογίστε το άθροισμα : .

Όλες οι πράσινες γωνίες είναι ίσες, άρα

\dfrac{{SC}}{{SB}} = \dfrac{{CD}}{{DB}} = \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow

\boxed{SB=3SC}

: Άθροισμα τετραγώνων Κ.png (14.48 KiB) Προβλήθηκε 113 φορές

BD \cdot DC = AD \cdot DS \Leftrightarrow 12 = 2\sqrt 2 DS \Leftrightarrow

\boxed{ DS = 3\sqrt 2}

Εφαρμόζω το θεώρημα $\rm Stewart$ στο SBC

και από τις σχέσεις (1), (2)

έχω:

18S{C^2} + 6S{C^2} = 8 \cdot 18 + 96 \Leftrightarrow S{C^2} = 10,S{B^2} = 90,

απ' όπου παίρνω

\boxed{SB^2+SC^2=100}

#4

KARKAR έγραψε: Πέμ Οκτ 22, 2026 8:05 am Άθροισμα τετραγώνων.pngΣτο ισοσκελές τρίγωνο , με βάση και ύψος $AM=2$ , το είναι το μέσο του .

Η τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου στο σημείο . Υπολογίστε το άθροισμα : .

: αθ τετ 2.png (17.61 KiB) Προβλήθηκε 105 φορές

.
Είναι

AB=AC= 2\sqrt 5

και

AD = 2\sqrt 2

. Επίσης, επειδή οι γωνίες $\theta$ είναι ίσες (βλέπουν ίσες χορδές) σημαίνει ότι η

είναι διχοτόμος του τριγώνου BSC

. Άρα

\dfrac {SB}{SC}= \dfrac {BD}{DC}= 3

(*)

Από την δύναμη του σημείου

είναι

2\sqrt 2 \cdot DS = AD\cdot DS= 6\cdot 2=12

. Άρα

DS=3\sqrt 2

, οπότε

AS= 2\sqrt2 + 3 \sqrt 2=5\sqrt 2

Από Πτολεμαίο στο ABSC

έχουμε

SB\cdot 2\sqrt 5+ SB\cdot 2\sqrt 5= 8\cdot 5\sqrt 2

(**)

Από τις (*) και (**) είναι

\boxed {SB=3\sqrt {10}, \, SC=\sqrt {10} }

, από όπου

SB^2+SC^2=100

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: Πέμ Οκτ 22, 2026 8:05 am Άθροισμα τετραγώνων.pngΣτο ισοσκελές τρίγωνο , με βάση και ύψος $AM=2$ , το είναι το μέσο του .

Η τέμνει τον περίκυκλο του τριγώνου στο σημείο . Υπολογίστε το άθροισμα : .

(ABC)=8=\dfrac{8b^2}{4r}=\dfrac{8.20}{4r} \Rightarrow r=5

Με

EZ \bot SB \Rightarrow BZ

διάμετρος κι επειδή

\angle OAS=45^0

θα είναι και

\angle ASO=45^0= \angle ADM \Rightarrow OS//MD \Rightarrow ES=SZ

Έτσι

μεσοκάθετη της

άρα

BE=BZ=10

και προφανώς οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες.

Επομένως

ES=CS

και

BS^2+SE^2=BE^2=100 \Rightarrow BS^2+SC^2=100

: Άθροισμα τετραγώνων.png (34.37 KiB) Προβλήθηκε 81 φορές

Άθροισμα τετραγώνων

Άθροισμα τετραγώνων

Re: Άθροισμα τετραγώνων

Re: Άθροισμα τετραγώνων

Re: Άθροισμα τετραγώνων

Re: Άθροισμα τετραγώνων

Μέλη σε σύνδεση