ΝΙΚΟΣ έγραψε: Σάβ Οκτ 10, 2026 12:17 pm Β40. Κάθε εγγεγραμμένο σε κύκλο εξάπλευρο, που έχει παράλληλες τις πλευρές δύο ζευγών απέναντι πλευρών του, έχει συντρέχουσες τις διαμέσους του (τις ευθείες που συνδέουν τα μέσα των απέναντι πλευρών του).
- Εξάγ.png (30.58 KiB) Προβλήθηκε 171 φορές
Είναι άμεσο και απλό: Έστω και . Παρακάτω θα δείξουμε ότι ισχύει και . Mε αυτό προσωρινά ως δεδομένο, λέμε: Αφού το
είναι ισοσκελές τραπέζιο, έπεται ότι η διάμεσος των βάσεων (η διακεκομμένη γραμμή) είναι μεσοκάθετος κάθε μιάς από αυτές (άμεσο και γνωστό). Άρα διέρχεται από το κέντρο 
του κύκλου. Το ίδιο συμβαίνει και για τις άλλες δύο διαμέσους, οπότε οι τρεις τους συντρέχουν στο εν λόγω σημείο. Τελειώσαμε.Μένει να δείξουμε την παραλληλία . Γνωρίζω τέσσερις απλούς τρόπους, αλλά ας δούμε τους δύο, και ίσως επανέλθω.
Πρώτος τρόπος (με Προβολική Γεωμετρία). Από το εξάγωνο του Pascal τα σημεία τομής των απέναντι πλευρών είναι συνευθειακά. Όμως οι
ως παράλληλες, τέμνονται στο επ' άπειρον σημείο. Το ίδιο και οι 
. Με άλλα λόγια η ευθεία Pascal είναι η επ΄ άπειρον ευθεία. Από το Θεώρημα Pascal, το ζεύγος 
των άλλων δύο απέναντι πλευρών τέμνεται και αυτό στην επ΄ άπειρον ευθεία, και άρα είναι παράλληλες μεταξύ τους, όπως θέλαμε να δείξουμε. Δεύτερος τρόπος (με Ευκλείδεια Γεωμετρία). Είναι (από το εγγράψιμο
) και (έχουν παράλληλες πλευρές), και (από το εγγράψιμο 
) . Έπεται , από όπου η ζητούμενη παραλληλία.
, σε λόγους -, , , αντίστοιχα.