Με αφορμή τις ... "ίσες διαγώνιες"

#1

Στο ορθογώνιο τρίγωνο του κατωτέρω σχήματος:

: Με αφορμή τις ίσες διαγώνιες 1.png (20.13 KiB) Προβλήθηκε 373 φορές

Τα σημεία $\displaystyle{S, P}$ ανήκουν αντίστοιχα στις πλευρές $\displaystyle{AB, CB}$ και ισχύει η σχέση:

$\displaystyle{(AS)=k}$ και $\displaystyle{(CP)=mk}$ , $\displaystyle{m \in R}$ και μάλιστα να ισχύει: $\displaystyle{(AP)=(CS) }$ .

Ζητούμε:
1ο) Να βρεθούν τα όρια μέσα στα οποία κινείται ο αριθμός $\displaystyle{m}$
2o) Να κατασκευαστούν τα σημεία $\displaystyle{S,P}$ .
3ο) Να βρεθεί ο γ. τόπος του σημείου τομής των τμημάτων $\displaystyle{AP, CS}$

Σημείωση: Επειδή ο τόπος αυτός δεν είναι από τους θεμελιώδεις και γνωστούς τόπους, θα πρέπει για να
προδιοριστεί, να βρεθούν οι παραμετρικές εξισώσεις που ορίζουν αυτόν.

Η αφορμή: https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=78859

KARKAR · #2

: kdortsi.png (21.9 KiB) Προβλήθηκε 189 φορές

Συνοπτικά : Με :

CP=\ell

και νόμο συνημιτόνου στο ACP

(και επειδή :

AP=CS=\sqrt{k^2+25}

) ,

παίρνω :

\ell=\dfrac{25+\sqrt{169k^2+625}}{13}

. Επειδή :

\ell <13

, πρέπει :

0<k<\sqrt{119}

.

Τώρα είναι :

m=\dfrac{\ell}{k}=\dfrac{25+\sqrt{169k^2+625}}{13k}

, λόγος με σύνολο τιμών , το :

(\dfrac{13}{\sqrt{119}} , +\infty )

Το

είναι η τομή του κύκλου x^2+y^2=r^2

με την ευθεία

y=-\dfrac{5}{12}x+5

, συνεπώς

είναι το

(\dfrac{12(25+\sqrt{169r^2-3600})}{169} , \dfrac{5(144-\sqrt{169r^2-3600})}{169} )

.

Το

είναι η τομή του κύκλου

x^2+(y-5)^2=r^2

με την ευθεία y=0

, συνεπώς είναι το

(\sqrt{r^2-25},0)

.

Η ευθεία

είναι η :

y=\dfrac{5(144-\sqrt{169r^2-3600})}{12(25+\sqrt{169r^2-3600})}x

.

Η ευθεία

είναι η :

y=5-\dfrac{5}{\sqrt{r^2-25}}x

.
Η τομή τους είναι το σημείο

, του οποίου η εύρεση των συντεταγμένων με ξεπερνά

#3

KDORTSI έγραψε: Σάβ Φεβ 14, 2026 10:53 pm Στο ορθογώνιο τρίγωνο του κατωτέρω σχήματος:

Με αφορμή τις ίσες διαγώνιες 1.png

Τα σημεία $\displaystyle{S, P}$ ανήκουν αντίστοιχα στις πλευρές $\displaystyle{AB, CB}$ και ισχύει η σχέση:

$\displaystyle{(AS)=k}$ και $\displaystyle{(CP)=mk}$ , $\displaystyle{m \in R}$ και μάλιστα να ισχύει: $\displaystyle{(AP)=(CS) }$ .

Ζητούμε:
1ο) Να βρεθούν τα όρια μέσα στα οποία κινείται ο αριθμός $\displaystyle{m}$
2o) Να κατασκευαστούν τα σημεία $\displaystyle{S,P}$ .
3ο) Να βρεθεί ο γ. τόπος του σημείου τομής των τμημάτων $\displaystyle{AP, CS}$

Σημείωση: Επειδή ο τόπος αυτός δεν είναι από τους θεμελιώδεις και γνωστούς τόπους, θα πρέπει για να
προδιοριστεί, να βρεθούν οι παραμετρικές εξισώσεις που ορίζουν αυτόν.

Η αφορμή: https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=21&t=78859

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#4

KDORTSI έγραψε: Σάβ Φεβ 14, 2026 10:53 pm Στο ορθογώνιο τρίγωνο του κατωτέρω σχήματος:

Με αφορμή τις ίσες διαγώνιες 1.png

Τα σημεία $\displaystyle{S, P}$ ανήκουν αντίστοιχα στις πλευρές $\displaystyle{AB, CB}$ και ισχύει η σχέση:

$\displaystyle{(AS)=k}$ και $\displaystyle{(CP)=mk}$ , $\displaystyle{m \in R}$ και μάλιστα να ισχύει: $\displaystyle{(AP)=(CS) }$ .

Να βρεθεί ο γ. τόπος του σημείου τομής των τμημάτων $\displaystyle{AP, CS}$

Για το γεωμετρικό τόπο, κρατάω από τη λύση του Θανάση τις εξισώσεις:

AP: y=\dfrac{5(144-\sqrt{169r^2-3600})}{12(25+\sqrt{169r^2-3600})}x,

CS: y=5-\dfrac{5}{\sqrt{r^2-25}}x

.

Θέτω

\sqrt{169r^2-3600}=a,

οπότε

\sqrt{r^2-25}=\dfrac{\sqrt{a^2-625}}{13}

και οι εξισώσεις των ευθειών γράφονται:

AP:y = \frac{{5(144 - a)x}}{{12(25 + a)}},CS:y = 5 - \frac{{65x}}{{\sqrt {{a^2} - 625} }}

: Τόπος.ΚΔ.png (58.58 KiB) Προβλήθηκε 90 φορές

Το ζητούμενο είναι να γίνει απαλοιφή του

Από την πρώτη εξίσωση παίρνω

\boxed{a = \frac{{60(12x - 5y)}}{{5x + 12y}}}

απ' όπου

a - 25 = \frac{{595x - 600y}}{{5x + 12y}},a + 25 = \frac{{845x}}{{5x + 12y}}

και με πολλαπλασιασμό κατά μέλη

\boxed{{a^2} - 625 = \frac{{4225x(119x - 120y)}}{{{{(5x + 12y)}^2}}}}

Από τη δεύτερη εξίσωση τώρα, βρίσκω

\boxed{a^2-625=\frac{4225x^2}{(5-y)^2}}

Από τις

και διαιρώντας με

4225x,

παίρνω την εξίσωση του γεωμετρικού τόπου:

\boxed{x{(5x + 12y)^2} = (119x - 120y){(5 - y)^2}}

με

Στο σχήμα είναι η μπλε καμπύλη.

KARKAR · #5

Γιώργο είναι αξιοθαύμαστη η "εφευρετικότητά" σου και το ... κουράγιο σου

Από περιέργεια "έδωσα" το θέμα στο chatgpt και μου έδωσε την παρακάτω παραμετρική λύση :

Γράφουμε

x(5x+12y)^2=(119x-120y)(5-y)^2.

Για τις περιπτώσεις όπου οι ποσότητες επιτρέπουν ρίζες:

\sqrt{x}\,(5x+12y) =\pm\sqrt{119x-120y}\,(5-y).

Θέτουμε

t=\pm\sqrt{\frac{119x-120y}{x}}.

Τότε

5x+12y=t(5-y).

Από εδώ:

5x+(12+t)y=5t

και επομένως

\boxed{x=t-\frac{12+t}{5}y}.

Αλλά από τον ορισμό του

,

t^2=\frac{119x-120y}{x} =119-\frac{120y}{x},

άρα

x=\frac{120y}{119-t^2}.

Συνδυάζοντας τις δύο σχέσεις παίρνουμε και x,y

**ρητά ως συναρτήσεις της παραμέτρου

**.

Από

\frac{120y}{119-t^2} =t-\frac{12+t}{5}y

προκύπτει

600y=5t(119-t^2)-(12+t)(119-t^2)y,

οπότε

\boxed{ y= \frac{5t(119-t^2)} {600+(12+t)(119-t^2)} }

και κατόπιν

\boxed{ x= \frac{120t} {600+(12+t)(119-t^2)} }.

Άρα η καμπύλη μπορεί να δοθεί παραμετρικά:

\boxed{ \begin{aligned} x(t)&=\frac{120t}{600+(t+12)(119-t^2)},\\[2mm] y(t)&=\frac{5t(119-t^2)} {600+(t+12)(119-t^2)}. \end{aligned}}

Με αφορμή τις ... "ίσες διαγώνιες"

Με αφορμή τις ... "ίσες διαγώνιες"

Re: Με αφορμή τις ... "ίσες διαγώνιες"

Re: Με αφορμή τις ... "ίσες διαγώνιες"

Re: Με αφορμή τις ... "ίσες διαγώνιες"

Re: Με αφορμή τις ... "ίσες διαγώνιες"

Μέλη σε σύνδεση