Προοδευτικό τετράγωνο

KARKAR · #1

: Προοδευτικό τετράγωνο.png (8.04 KiB) Προβλήθηκε 155 φορές

Στο εσωτερικό του τετραγώνου ABCD

, γράφουμε ημικύκλιο διαμέτρου

,

προς το οποίο φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα

. Δείξτε ότι τα τμήματα

SA , SD , SB

, είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου .

#2

KARKAR έγραψε: Παρ Οκτ 23, 2026 5:39 am Προοδευτικό τετράγωνο.pngΣτο εσωτερικό του τετραγώνου , γράφουμε ημικύκλιο διαμέτρου ,

προς το οποίο φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα . Δείξτε ότι τα τμήματα

$SA , SD , SB$ , είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου .

Με τους συμβολισμούς του σχήματος και λόγω του τετραγώνου είναι:

{x^2} + {a^2} = {y^2} + {z^2} = {y^2} + {a^2} - {x^2} \Leftrightarrow

\boxed{2x^2=y^2}

: Προοδευτικό τετράγωνο.png (12.41 KiB) Προβλήθηκε 146 φορές

Νόμος συνημιτόνων στο ASD,

{y^2} = {a^2} + {x^2} - 2ax\cos \theta \mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} 2{x^2} = {a^2} + {x^2} - 2ax\dfrac{z}{a},

απ' όπου

{a^2} - {x^2} = 2xz \Leftrightarrow {z^2} = 2xz \Leftrightarrow z = 2x\mathop \Rightarrow \limits^{(1)}

\boxed{y^2=xz}

#3

KARKAR έγραψε: Παρ Οκτ 23, 2026 5:39 am Προοδευτικό τετράγωνο.pngΣτο εσωτερικό του τετραγώνου , γράφουμε ημικύκλιο διαμέτρου ,

προς το οποίο φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα . Δείξτε ότι τα τμήματα

$SA , SD , SB$ , είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου .

: Προοδ.png (16.03 KiB) Προβλήθηκε 134 φορές

.
Μπορούμε και καλύτερα, με την έννοια ότι μπορούμε να βρούμε απλές παραστάσεις των

SA=x , SD=y , SB=z

, χωριστά.

Θέρνουμε

BT\perp SB

. Τα τρίγωνα

ASB, CTB

είναι ίσα (άμεσο), οπότε

z=SB=2TB=2x

. Οπότε από το ορθογώνιο τρίγωνο ASB

έχουμε

a^2=x^2+z^2= x^2+4x^2

από όπου

\boxed {x= \dfrac {a\sqrt 5}{5}, \, z= \dfrac {2a\sqrt 5}{5} }

Από τον Νόμο των Συνημιτόνων στο ASD

έχουμε

y^2=a^2+x^2-2ax\cos \theta =a^2+x^2-2ax \cdot \dfrac {z}{a} = a^2+\dfrac {a^2}{5}-2a \cdot \dfrac {a\sqrt 5}{5} \cdot \dfrac {2\sqrt 5}{5}= \dfrac {2a^2}{5}

, από όπου

\boxed { y= \dfrac {a\sqrt {10}}{5}}

. Ειδικά,

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: Παρ Οκτ 23, 2026 5:39 am Προοδευτικό τετράγωνο.pngΣτο εσωτερικό του τετραγώνου , γράφουμε ημικύκλιο διαμέτρου ,

προς το οποίο φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα . Δείξτε ότι τα τμήματα

$SA , SD , SB$ , είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου .

Η

τέμνει τον περίκυκλο του τετραγώνου στο

και η

στο

Ο κύκλος

προφανώς περνά από το

και

\angle DSB=135^0 \Rightarrow \angle DSP= \angle ASQ=45^0

άρα

\angle SDP=90^0

Έτσι,

ορθογώνιο και

PD=DS=BQ=SQ

άρα και

Ισχύει

DS.SQ=AS.SP\Rightarrow DS^2=AS.BS

: Προοδευτικό τετράγωνο.png (35.44 KiB) Προβλήθηκε 101 φορές

p_gianno · #5

: Στιγμιότυπο οθόνης 2026-10-24 τετραγ 123706.png (76.46 KiB) Προβλήθηκε 72 φορές

\angle SDB = \angle SBA =\angle SAD

(Θεώρημα χορδής - εφαπτομένης)

\angle DSB=270^0:2=135^0

(εγγεγραμμένη που βαίνει σε τόξο

270^0

)

\angle DSA =360^0-(135^0 + 90^0 )=135^0

. Συνεπώς από (2,3)

προκύπτει

\angle DSB = \angle ASD

(1 , 4) \rightarrow \triangle DSB \sim \triangle ASD

. Άρα

\dfrac{BS}{SD}=\dfrac{SD}{SA}

, που είναι το ζητούμενο.

Προοδευτικό τετράγωνο

Προοδευτικό τετράγωνο

Re: Προοδευτικό τετράγωνο

Re: Προοδευτικό τετράγωνο

Re: Προοδευτικό τετράγωνο

Re: Προοδευτικό τετράγωνο

Μέλη σε σύνδεση