Νεανικές κατασκευές 3

KARKAR · #1

: Νεανικές κατασκευές 3.png (12.28 KiB) Προβλήθηκε 172 φορές

Κατασκευάστε ορθογώνιο τρίγωνο ABC

, στο οποίο αν το σημείο

είναι

το μέσο της υποτείνουσας

και η

διχοτόμος , να είναι :

MS \perp SC

.

#2

KARKAR έγραψε: Σάβ Οκτ 24, 2026 11:41 am Νεανικές κατασκευές 3.pngΚατασκευάστε ορθογώνιο τρίγωνο , στο οποίο αν το σημείο είναι

το μέσο της υποτείνουσας και η διχοτόμος , να είναι : $MS \perp SC$ .

.
Mε αρχή των αξόνων το

είναι

B(c,0), C(0,b), M \left ( \dfrac {c}{2}, \dfrac {b}{2}\right )

και

S \left ( \dfrac {bc}{a+b}, 0\right )

.

Η συνθήκη καθετότητας ως προς κλίσεις γράφεται

\dfrac { \dfrac {b}{2}-0}{ \dfrac {c}{2}-\dfrac {bc}{a+b}}\cdot \dfrac { b-0}{ 0-\dfrac {bc}{a+b}}=-1

Ισοδύναμα

b(a+b)^2=(a-b)c^2= (a-b)(a^2-b^2)

, και άρα

a^2-3ab=0

. Oπότε

\boxed {a= 3b}

. Τα υπόλοιπα, άμεσα.

Άσκηση άνευ φαντασίας, του τύπου "ακολούθα τα βήματα και θα βγει μόνη της".

(Edit. Διόρθωσα λογιστικό σφάλμα.)

.

#3

Με δοσμένο το ευθύγραμμο τμήμα

με το μέσον του

γράφουμε τα ημικύκλια $(M),\ (N)$ με διάμετρο

BC,\ CM,

αντιστοίχως

Η δια του σημείου

εφαπτομένη του ημικυκλίου (N)

στο σημείο έστω

τέμνει το ημικύκλιο (M)

στο σημείο έστω

Στο ορθογώνιο τρίγωνο $\vartriangle ABC$ τώρα, από

\angle MCS=\angle MSB=\angle ACS,

προκύπτει ότι η ευθεία

CS\perp SM

ταυτίζεται με την διχοτόμο της γωνίας $\angle C$ και το πρόβλημα έχει λυθεί.

Κώστας Βήττας.

KARKAR · #4

: Vitalis.png (19.66 KiB) Προβλήθηκε 129 φορές

Το σχήμα της έξοχης λύσης του Κώστα

Δείξτε ακόμη , ότι :

BC=3AC

( ανεξάρτητα από το αποτέλεσμα του Μιχάλη ) .

#5

KARKAR έγραψε: Δείξτε ακόμη , ότι : $BC=3AC$ ( ανεξάρτητα από το αποτέλεσμα του Μιχάλη ).

Αυτό προκύπτει άμεσα από

NS\parallel AC,

όπου

είναι το κέντρο του ημικυκλίου (N).

Έτσι, από

\dfrac{NS}{AC}=\dfrac{BN}{BC}

$\Rightarrow$

\boxed{\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{BN}{NS}=\dfrac{BN}{NM}=3}

λόγω

NS=NM

και

BN=3(NM)

και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

#6

KARKAR έγραψε: Σάβ Οκτ 24, 2026 5:01 pm Δείξτε ακόμη , ότι : $BC=3AC$ ( ανεξάρτητα από το αποτέλεσμα του Μιχάλη ) .

.
Διόρθωσα λογιστικό σφάλμα στην λύση μου στο παραπάνω ποστ #2 (είχα φάει ένα πρόσημο).

Το ζητούμενο τώρα είναι ήδη αποδεδειγμένο, και δεν χρειάζεται να κάνουμε τίποτα.

#7

KARKAR έγραψε: Σάβ Οκτ 24, 2026 11:41 am Νεανικές κατασκευές 3.pngΚατασκευάστε ορθογώνιο τρίγωνο , στο οποίο αν το σημείο είναι

το μέσο της υποτείνουσας και η διχοτόμος , να είναι : $MS \perp SC$ .

: νεανική 2.png (22.1 KiB) Προβλήθηκε 85 φορές

.
Έχω άλλους δύο απλούς τρόπους επίλυσης της άσκησης. Καταγράφω εδώ τον έναν, και ίσως επανέλθω για τον δεύτερο.

Ανάλυση: Συνδέουμε το

με το μέσον

της

, οπότε $MN\perp AB$ και

MN= \dfrac {1}{2} AC= \dfrac {b}{2}

. Επίσης φέρνουμε

SD\perp BC

Εύκολα βλέπουμε ότι οι τέσσερις γωνίες $\theta$ είναι ίσες. Συγκεκριμένα

\widehat {\theta _1}= \widehat {\theta _2}

(εξ υποθέσεως),

\widehat {\theta _1} = \widehat {\theta _3}

(και οι δύο συμπληρωματικές της $\widehat {ASC}$ ) και

\widehat {\theta _2}= \widehat {\theta _4}

(και οι δύο συμπληρωματικές της $\widehat {CSD}$ ).

Από ιδιότητα της διχοτόμου

έχουμε

CD=CA=b

και από ιδιότητα της διχοτόμου

έχουμε

DM= MN= \dfrac {b}{2}

.

Άρα

CB=2CM=2(CD+DM)= 2\left ( b + \dfrac {b}{2}\right ) = 3b

.

Με άλλα λόγια

\boxed {a=3b}

και το τρίγωνο κατασκευάζεται. Τα υπόλοιπα, άμεσα.

#8

KARKAR έγραψε: Σάβ Οκτ 24, 2026 11:41 am Νεανικές κατασκευές 3.pngΚατασκευάστε ορθογώνιο τρίγωνο , στο οποίο αν το σημείο είναι

το μέσο της υποτείνουσας και η διχοτόμος , να είναι : $MS \perp SC$ .

Έστω λυμένο το πρόβλημα . Ας είναι

το σημείο τομής της ευθείας

με το ημικύκλιο διαμέτρου , BC.

Τότε γνωστό ( Θ Νότιου πόλου) η

είναι κάθετη με την

στο

.

Προφανώς η

είναι μεσοκάθετος στη χορδή

, ενώ

ως κάθετες στην AB.

: νεανικές κατασκευέ 3.png (21.46 KiB) Προβλήθηκε 73 φορές

Φέρνουμε την

κάθετη στην ,

και θα είναι ,

SK = ST

. Μετά απ’ αυτά εύκολα προκύπτει ότι η τετράδα

(B,K\backslash M,C)

είναι αρμονική και θα ισχύει :

\boxed{\frac{{KM}}{{KC}} = \frac{{BM}}{{BC}} = \frac{{BM}}{{2BM}} = \frac{1}{2}}

Κατασκευή

Τριχοτομούμε την ακτίνα

με το σημείο

. Ο κύκλος ,

(C,CK)

τέμνει , στο

, το ημικύκλιο διαμέτρου BC.

Νεανικές κατασκευές 3

Νεανικές κατασκευές 3

Re: Νεανικές κατασκευές 3

Re: Νεανικές κατασκευές 3

Re: Νεανικές κατασκευές 3

Re: Νεανικές κατασκευές 3

Re: Νεανικές κατασκευές 3

Re: Νεανικές κατασκευές 3

Re: Νεανικές κατασκευές 3

Μέλη σε σύνδεση