Καλολογικά στοιχεία 2

KARKAR · #1

: Καλολογικά στοιχεία 2.png (13.62 KiB) Προβλήθηκε 138 φορές

Στο προς την υποτείνουσα

ύψος

, του ορθογωνίου τριγώνου ABC

, θεωρούμε

σημείο

, τέτοιο ώστε :

\dfrac{DS}{SA}=\dfrac{1}{2}

. Ο κύκλος

( C , S , A)

, τέμνει την προέκταση της

στο σημείο

. Υπολογίστε τον λόγο :

\dfrac{TA}{AB}

.

#2

KARKAR έγραψε: Παρ Οκτ 23, 2026 7:54 pm Καλολογικά στοιχεία 2.pngΣτο προς την υποτείνουσα ύψος , του ορθογωνίου τριγώνου , θεωρούμε

σημείο , τέτοιο ώστε : $\dfrac{DS}{SA}=\dfrac{1}{2}$ . Ο κύκλος $( C , S , A)$ , τέμνει την προέκταση της

στο σημείο . Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{TA}{AB}$ .

: Καλολ.png (21.83 KiB) Προβλήθηκε 121 φορές

.
Aπό το εγγράψιμο

TASC

m Οι δύο γωνίες $\theta$ είναι ίσες, και άρα τα ορθογώνια τρίγωνα

TAC, CSD

είναι όμοια. Συνεπώς

TA=d= \dfrac {b\cdot SD}{CD}= \dfrac {b}{CD} \cdot \dfrac {AD}{3} = \dfrac {b}{3} \cdot \dfrac {AD\cdot a}{CD\cdot a} = \dfrac {b}{3} \cdot \dfrac {bc}{b^2} = \dfrac {c}{3}

. Άρα

\boxed {\dfrac {TA}{AB} =\dfrac {d}{c}= \dfrac {1}{3}}

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: Παρ Οκτ 23, 2026 7:54 pm Καλολογικά στοιχεία 2.pngΣτο προς την υποτείνουσα ύψος , του ορθογωνίου τριγώνου , θεωρούμε

σημείο , τέτοιο ώστε : $\dfrac{DS}{SA}=\dfrac{1}{2}$ . Ο κύκλος $( C , S , A)$ , τέμνει την προέκταση της

στο σημείο . Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{TA}{AB}$ .

Αν

το

είναι ορθόκεντρο του

\triangle AEC

Άρα λόγω και του εγγεγραμμένου τετραπλέυρου ATCS

οι κόκκινες γωνίες του σχήματος

είναι ίσες ,οπότε

AE//ST

και το

EATS

είναι παραλ/μμο άρα

AT=SE

.Ισχύει

\dfrac{AT}{AB} = \dfrac{SE}{AB}= \dfrac{DS}{DA}= \dfrac{1}{3}

: Καλολογικά στοιχεία 2.png (29.68 KiB) Προβλήθηκε 107 φορές

#4

KARKAR έγραψε: Παρ Οκτ 23, 2026 7:54 pm Καλολογικά στοιχεία 2.pngΣτο προς την υποτείνουσα ύψος , του ορθογωνίου τριγώνου , θεωρούμε

σημείο , τέτοιο ώστε : $\dfrac{DS}{SA}=\dfrac{1}{2}$ . Ο κύκλος $( C , S , A)$ , τέμνει την προέκταση της

στο σημείο . Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{TA}{AB}$ .

Είναι

a\cdot AD=2(ABC)=bc,

απ' όπου $AD=\dfrac{bc}{a}.$

DP \cdot DC = DS \cdot DA \Leftrightarrow DP \cdot \dfrac{{{b^2}}}{a} = \dfrac{{bc}}{{3a}} \cdot \dfrac{{bc}}{a} \Leftrightarrow

\boxed{DP=\frac{c^2}{3a}}

: Καλολογικά στοιχεία 2.png (13.6 KiB) Προβλήθηκε 92 φορές

BA \cdot BT = BP \cdot BC \Leftrightarrow c(c + AT) = (BD + DP)a \Leftrightarrow {c^2} + cAT = \left( {\frac{{{c^2}}}{a} + \frac{{{c^2}}}{{3a}}} \right)a

cAT = \dfrac{{4{c^2}}}{3} - {c^2} = \dfrac{{{c^2}}}{3},

απ' όπου παίρνω

\boxed{\frac{TA}{AB}=\frac{1}{3}}

#5

KARKAR έγραψε: Παρ Οκτ 23, 2026 7:54 pm Καλολογικά στοιχεία 2.pngΣτο προς την υποτείνουσα ύψος , του ορθογωνίου τριγώνου , θεωρούμε

σημείο , τέτοιο ώστε : $\dfrac{DS}{SA}=\dfrac{1}{2}$ . Ο κύκλος $( C , S , A)$ , τέμνει την προέκταση της

στο σημείο . Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{TA}{AB}$ .

Παρόμοια με τον Κ. Λάμπρου.

: καλολογικά στοιχεία.png (19.08 KiB) Προβλήθηκε 71 φορές

Επειδή το τετράπλευρο ASCT

είναι εγγεγραμμένο θα είναι : $\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}}$ άρα ,

\vartriangle ACT \approx \vartriangle DCS\,\,\, \Rightarrow \boxed{\frac{x}{k} = \frac{b}{{CD}}\,\,\,(1)}

Αλλά και

\vartriangle DCA \approx \vartriangle DAB \Rightarrow \boxed{\frac{b}{{CD}} = \frac{c}{{3k}}}\,\,\,\,(2)

. άμεση συνέπεια απ' αυτές τις δύο :

\boxed{\frac{x}{k} = \frac{c}{{3k}} \Leftrightarrow \frac{x}{c} = \frac{1}{3}}

Καλολογικά στοιχεία 2

Καλολογικά στοιχεία 2

Re: Καλολογικά στοιχεία 2

Re: Καλολογικά στοιχεία 2

Re: Καλολογικά στοιχεία 2

Re: Καλολογικά στοιχεία 2

Μέλη σε σύνδεση