Τριπλοεξαρτημένος λόγος

KARKAR · #1

: Τριπλοεξαρτημένος λόγος.png (8.58 KiB) Προβλήθηκε 136 φορές

Στις πλευρές

AB , AC , (AB<AC)

του τριγώνου ABC

κινούνται σημεία D , E

, έτσι ώστε : $DE \parallel BC$ . Έστω

η προβολή του

στην

. Η ευθεία η οποία διέρχεται από τα μέσα M , N

των τμημάτων

BC , PD

αντίστοιχα ,

τέμνει την

στο σημείο

. Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AS}{SB}$ , συναρτήσει των τριών πλευρών a , b , c ,

του τριγώνου .

#2

KARKAR έγραψε: Δευ Οκτ 26, 2026 7:10 pm Τριπλοεξαρτημένος λόγος.pngΣτις πλευρές $AB , AC , (AB<AC)$ του τριγώνου κινούνται σημεία , έτσι ώστε : $DE \parallel BC$ . Έστω

η προβολή του στην . Η ευθεία η οποία διέρχεται από τα μέσα των τμημάτων $BC , PD$ αντίστοιχα ,

τέμνει την στο σημείο . Υπολογίστε τον λόγο : $\dfrac{AS}{SB}$ , συναρτήσει των τριών πλευρών του τριγώνου .

Φέρνω

ST||BC

και ισχυρίζομαι ότι

\boxed{TM\bot BC}

(Σε επόμενη ανάρτηση θα αποδείξω τον ισχυρισμό μου).

: Τριπλοεξαρτημένος.png (10.83 KiB) Προβλήθηκε 105 φορές

\cos C = \dfrac{{MC}}{{TC}} = \dfrac{a}{{2TC}}

και

c^2=a^2+b^2-2ab\cos C,

απ' όπου

{b^2} - {c^2} = 2ab\dfrac{a}{{2TC}} - {a^2} \Leftrightarrow \dfrac{{{b^2} - {c^2}}}{{{a^2}}} = \dfrac{b}{{TC}} - 1 = \dfrac{{AT}}{{TC}} \Leftrightarrow

\boxed{\frac{AS}{SB}=\frac{b^2-c^2}{a^2}}

#3

KARKAR έγραψε: Δευ Οκτ 26, 2026 7:10 pm Στις πλευρές $AB , AC , (AB<AC)$ του τριγώνου κινούνται σημεία , έτσι ώστε : $DE \parallel BC$ . Έστω η προβολή του στην . Η ευθεία η οποία διέρχεται από τα μέσα των τμημάτων $BC , PD$ αντίστοιχα ,τέμνει την στο σημείο .

george visvikis έγραψε: Τρί Οκτ 27, 2026 10:38 amΦέρνω $ST||BC$ και ισχυρίζομαι ότι $\boxed{TM\bot BC}$ .

Απόδειξη: Θεώρημα Μενελάου στο DPB

με διατέμνουσα

\overline {SNM}:

\frac{{BM}}{{MP}} \cdot \frac{{PN}}{{ND}} \cdot \frac{{SD}}{{SB}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{SD}}{{SB}} = \frac{{MP}}{{BM}} = \frac{{MP}}{{CM}}

: Τριπλοεξάρτημένο,β.png (10.86 KiB) Προβλήθηκε 46 φορές

Άρα,

\dfrac{{CM - MP}}{{CM}} = \dfrac{{BS - SD}}{{BS}} \Leftrightarrow \dfrac{{CP}}{{CM}} = \dfrac{{BD}}{{BS}} = \dfrac{{CE}}{{ET}} \Leftrightarrow EP||TM

και το ζητούμενο έπεται.

Τριπλοεξαρτημένος λόγος

Τριπλοεξαρτημένος λόγος

Re: Τριπλοεξαρτημένος λόγος

Re: Τριπλοεξαρτημένος λόγος

Μέλη σε σύνδεση