Ελάχιστη διαμέριση συνόλου

[Al.Koutsouridis]

Ένα σύνολο θετικών ακέραιων αριθμών ονομάζεται ελεύθερο, αν για οποιαδήποτε ο αριθμός δεν ανήκει στο και για οποιοδήποτε ο αριθμός επίσης δεν ανήκει στο . Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός ελεύθερων συνόλων στα οποία μπορεί να διαμεριστεί το σύνολο ;

[Dimessi]

Ένα σύνολο θετικών ακέραιων αριθμών ονομάζεται ελεύθερο, αν για οποιαδήποτε ο αριθμός δεν ανήκει στο και για οποιοδήποτε ο αριθμός επίσης δεν ανήκει στο . Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός ελεύθερων συνόλων στα οποία μπορεί να διαμεριστεί το σύνολο ;

Πολύ ωραίο.
Η ιδιότητα των ελεύθερων συνόλων είναι δεν ανήκει στο για κάθε και η δεν ανήκει στο είναι εκφυλισμένη περίπτωση όπου Διαμερίζω το σύνολο στα ελεύθερα σύνολα και Τότε πράγματι για κάθε είναι δεν ανήκει στο και για κάθε είναι δεν ανήκει στο και τα σύνολα και είναι ελεύθερα άρα μια τέτοια διαμέριση σε αυτά τα τέσσερα σύνολα είναι εφικτή. Αν το σύνολο μπορούσε να διαμεριστεί σε τρία ελεύθερα σύνολα έστω τότε από Θεώρημα Schur σε συνδυασμό με την περιοριστική βάση της εκφώνησης αποδεικνύω με μια πολύ προχωρημένη λύση που χρησιμοποιεί θεωρία πρώτων αριθμών με βαρύ πυροβολικό (είναι τα γνωστά προβλήματα στο εξειδικευμένο κοινό των διαγωνισμών ως Schur -1 ή product free problems , πολυσυζητημένα στο χώρο των διαγωνισμών ), ότι το σύνολο θα μπορούσε να διαμεριστεί σε τρία υποσύνολα εκ των οποίων τουλάχιστον το ένα περιέχει τρία διακεκριμένα στοιχεία τέτοια ώστε κι αφού οι αριθμοί του συνόλου ανήκουν ο καθένας σε κάποιο εκ των τριών συνόλων έπεται ότι θα υπήρχε αναγκαστικά μια τριάδα με τέτοια ώστε τα στοιχεία να ανήκουν στο ίδιο σύνολο το οποίο είναι ένα από τα σύνολα έστω wlog το άρα με άτοπο. Αν πάλι το σύνολο μπορούσε να διαμεριστεί σε δύο υποσύνολα τότε έστω wlog
και τότε με και άρα άτοπο . Άρα ο ελάχιστος δυνατός αριθμός τέτοιων συνόλων στα οποία μπορεί να διαμεριστεί το σύνολο είναι το οποίο είναι εφικτό θεωρώντας τα τέσσερα σύνολα και

Για την ύπαρξη μονοχρωματικής λύσης από τη δομή Schur-1 με product free σύνολα υποτέθηκε πως τα τρία σύνολα δεν έχουν συνάμα την ιδιότητα ότι το κάθε στοιχείο τους έχει πλήθος παραγόντων που να ανήκει σε κάποιο εκ των τριών sum free συνόλων στα οποία μπορεί να διαμεριστεί το σύνολο Κατασκευάζοντας τα σύνολα έτσι ώστε το καθένα να περιέχει στοιχεία εκ των οποίων το καθένα να έχει πλήθος πρώτων παραγόντων με τις πολλαπλότητές τους , έστω που ανήκει σε κάποιο εκ των συνόλων άρα τα σύνολα αυτά είναι τα
και κι αφού το καθένα από τα σύνολα είναι sum free από τον ορισμό του τα σύνολα είναι product free και επομένως επιτυγχάνεται η κατασκευή με τα σύνολα αυτά.
Συνοψίζοντας, ο ελάχιστος αριθμός συνόλων στα οποία μπορεί να διαμεριστεί το σύνολο τέτοιων ώστε για κάθε τέτοιο σύνολο και για κάθε να ισχύει δεν ανήκει στο είναι σύνολα.
Αυτά είναι τα σύνολα και

Κατασευάζοντας όμως αυτά τα σύνολα το συμπέρασμα καθίσταται προφανές, εγώ από την αρχή θεώρησα ότι το πρόβλημα θα απαιτούσε σύνολα εκτός από αυτά ώστε να μην καθίσταται δυνατή μόνο μια εκφυλισμένη περίπτωση.