Τετράγωνο εφαπτομένης

KARKAR · #1

: Τετράγωνο εφαπτομένης.png (14.56 KiB) Προβλήθηκε 105 φορές

Το σημείο

είναι το μέσο του ημικυκλίου διαμέτρου AOB=2r

. Σημείο

κινείται επί

του τόξου , από το

προς το

. Ονομάζουμε

την προβολή του

στην

και

την τομή της

με την

. Υπολογίστε την $\tan^2\theta$ , όταν μεγιστοποιείται το

.

#2

KARKAR έγραψε: Πέμ Οκτ 29, 2026 11:32 am Τετράγωνο εφαπτομένης.pngΤο σημείο είναι το μέσο του ημικυκλίου διαμέτρου . Σημείο κινείται επί

του τόξου , από το προς το . Ονομάζουμε την προβολή του στην και

την τομή της με την . Υπολογίστε την $\tan^2\theta$ , όταν μεγιστοποιείται το .

: Τετράγωνο εφαπτομένης.Κ.png (13.41 KiB) Προβλήθηκε 94 φορές

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

KARKAR έγραψε: Πέμ Οκτ 29, 2026 11:32 am Τετράγωνο εφαπτομένης.pngΤο σημείο είναι το μέσο του ημικυκλίου διαμέτρου . Σημείο κινείται επί

του τόξου , από το προς το . Ονομάζουμε την προβολή του στην και

την τομή της με την . Υπολογίστε την $\tan^2\theta$ , όταν μεγιστοποιείται το .

: tetr.png (18.83 KiB) Προβλήθηκε 92 φορές

.
Mε

t= \tan \dfrac {\theta}{2}

έχουμε

PT=ST\tan \dfrac {\theta}{2}= r\cos \theta \tan \dfrac {\theta}{2}= r\dfrac {1-t^2}{1+t^2}\cdot t

Με παραγώγιση ανάγεται στο

-\dfrac {t^4+4t^2-1}{(1+t^2)^2}=0

, από όπου

t= \sqrt {\sqrt 5-2}

.

Άρα τότε

\tan^2\theta = \left ( \dfrac {2t} {1-t^2} \right ) ^2 = \dfrac {1+\sqrt 5} {2} =\boxed { \phi}

(Edit. Mε πρόλαβε ο Γιώργος.)

#4

KARKAR έγραψε: Πέμ Οκτ 29, 2026 11:32 am Τετράγωνο εφαπτομένης.pngΤο σημείο είναι το μέσο του ημικυκλίου διαμέτρου . Σημείο κινείται επί

του τόξου , από το προς το . Ονομάζουμε την προβολή του στην και

την τομή της με την . Υπολογίστε την $\tan^2\theta$ , όταν μεγιστοποιείται το .

Με τους συμβολισμούς του σχήματος είναι

AS=\sqrt{2r(r+x)}.

\frac{{PS}}{{AS}} = \frac{x}{{r + x}} \Leftrightarrow PS = \frac{x}{{r + x}}\sqrt {2r(r + x)} \Leftrightarrow P{S^2} = \frac{{2r{x^2}}}{{r + x}}

: Τετράγωνο εφαπτομένης.Κ1.png (13.59 KiB) Προβλήθηκε 57 φορές

P{T^2} = \dfrac{{2r{x^2}}}{{r + x}} - {x^2} \Leftrightarrow PT = x\sqrt {\dfrac{{r - x}}{{r + x}}},

όπου με παραγώγους βρίσκω ότι παρουσιάζει μέγιστο

όταν

\boxed{x=\frac{\sqrt 5-1}{2}r}

Τότε όμως,

{\tan ^2}\theta = \dfrac{{S{D^2}}}{{{x^2}}} = \dfrac{{{r^2} - {x^2}}}{{{x^2}}} \Leftrightarrow

\boxed{\tan^2 \theta=\frac{\sqrt 5+1}{2}=\phi}

Τετράγωνο εφαπτομένης

Τετράγωνο εφαπτομένης

Re: Τετράγωνο εφαπτομένης

Re: Τετράγωνο εφαπτομένης

Re: Τετράγωνο εφαπτομένης

Μέλη σε σύνδεση