Γωνίες τριγώνου

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλημέρα.
Με τα δεδομένα του σχήματος:

: 5-11 γωνίες.png (13.09 KiB) Προβλήθηκε 217 φορές

Να βρεθούν οι γωνίες του τριγώνου

Έχω την αίσθηση ότι δέχεται ποικιλία προσεγγίσεων..

Σας ευχαριστώ , Γιώργος.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Πέμ Νοέμ 05, 2026 10:46 am Καλημέρα.
Με τα δεδομένα του σχήματος:
5-11 γωνίες.png

Να βρεθούν οι γωνίες του τριγώνου

Έχω την αίσθηση ότι δέχεται ποικιλία προσεγγίσεων..

Σας ευχαριστώ , Γιώργος.

Με

AN\bot AB \Rightarrow \angle MAN= \angle NAC= \angle C=x

άρα η

είναι εξωτερική διχοτόμος του ANC

\dfrac{BM}{BC}= \dfrac{NM}{NC} \Rightarrow \dfrac{NM}{NC}= \dfrac{1}{2} \Rightarrow NM= \dfrac{a}{6} ,NC= \dfrac{a}{3}

Από θ.διχοτόμου

\dfrac{AM}{b}= \dfrac{MN}{NC}= \dfrac{1}{2} \Rightarrow AM= \dfrac{b}{2}

Η

εφάπτεται του κύκλου

(A,N,C)

άρα

AM^2=MN.MC\Rightarrow \dfrac{b^2}{4}= \dfrac{a}{6}. \dfrac{a}{2} \Rightarrow a^2=3b^2

Με θ.διαμέσου παίρνουμε επίσης

a^2=3c^2

άρα

και

AM\bot BC

Έτσι

\angle C= \angle B=30^0 \Rightarrow \angle A=120^0

: Γωνίες τριγώνου.png (16.42 KiB) Προβλήθηκε 159 φορές

#3

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Πέμ Νοέμ 05, 2026 10:46 am Καλημέρα.
Με τα δεδομένα του σχήματος:
5-11 γωνίες.png

Να βρεθούν οι γωνίες του τριγώνου

Έχω την αίσθηση ότι δέχεται ποικιλία προσεγγίσεων..

Σας ευχαριστώ , Γιώργος.

Νόμος ημιτόνου στο ABC,

\dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{c}{{\sin C}} \Leftrightarrow \dfrac{a}{{\cos x}} = \dfrac{c}{{\sin x}} \Leftrightarrow

\boxed{\tan x=\frac{c}{a}}

: Γωνίες τριγώνου.ΓΜ2.png (13.33 KiB) Προβλήθηκε 122 φορές

Νόμος ημιτόνου στο ABM:

\frac{c}{{\sin 3x}} = \frac{a}{{2\cos x}} \Leftrightarrow \frac{c}{a} = \frac{{\sin x(3 - 4{{\sin }^2}x)}}{{2\cos x}}\mathop = \limits^{(1)} \frac{c}{{2a}}(3 - 4{\sin ^2}x) \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2}

Άρα

\boxed{\widehat B=\widehat C=30^\circ}

και $\boxed{\widehat A=120^\circ}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: Πέμ Νοέμ 05, 2026 10:46 am Καλημέρα.
Με τα δεδομένα του σχήματος:
5-11 γωνίες.png

Να βρεθούν οι γωνίες του τριγώνου

Έχω την αίσθηση ότι δέχεται ποικιλία προσεγγίσεων..

Σας ευχαριστώ , Γιώργος.

Με

AN \bot AB

είναι

\angle MAN= \angle C=x \Rightarrow AM

εφάπτεται του κύκλου

(A,N,C)

Έτσι

AM^2=MN.MC=MN.MB

άρα

ύψος του

\triangle BAN

Άρα $\triangle ABC$ ισοσκελές με

\angle y=2x

οπότε

6x=180^0\Rightarrow x=30^0 \Rightarrow \angle A=120^0

: Γωνίες τριγώνου2.png (16.68 KiB) Προβλήθηκε 101 φορές

p_gianno · #5

: Στιγμιότυπο οθόνης 2026-11-06 234224.png (53.09 KiB) Προβλήθηκε 38 φορές

διχοτόμος της

\angle MAC

, οπότε

\angle NAB = 90^0

,

εξωτερική διχ/μος της

\angle MAC

και

\triangle ANC

ισοσκελές δηλαδή AN=NC

Συνεπώς

\dfrac{MN}{NC}= \dfrac{BM}{BC}= \dfrac{BM}{2BM}= \dfrac{1}{2}

, άρα

NC=2MN=AN

και

BN=BM+MN=MC+MN=3MN+MN=4MN

.

Είναι τώρα

\dfrac{ΑΝ}{ΜΝ}= \dfrac{2MN}{MN}= \dfrac{2}{1}= \dfrac{4MN}{2MN}= \dfrac{BN}{AN}

δηλαδή

\boxed { \dfrac{ΑΝ}{ΜΝ}=\dfrac{BN}{AN} }

(1)

Από την (1) και την κοινή γωνία

ANM

έπεται ότι

\triangle MAN \sim \triangle ABN

συνεπώς

\angle AMN = \angle BAN = 90^0.

Είναι δηλαδή

διάμεσος και ύψος του $\triangle BAC$ το οποίο τώρα πια είναι ισοσκελές. Στο ορθογώνιο τρίγωνο AMC

έχουμε

2x+x=90^0

δηλαδή

x=30^0=\angle C=\angle B

οπότε

\angle A=90^0+x=120^0

Γωνίες τριγώνου

Γωνίες τριγώνου

Re: Γωνίες τριγώνου

Re: Γωνίες τριγώνου

Re: Γωνίες τριγώνου

Re: Γωνίες τριγώνου

Μέλη σε σύνδεση