Ολομορφη σε δισκο με κεντρο την αρχη - Απορια

Nick1990 · #1

Καλησπερα
Εχουμε μια ολομορφη μιγαδικη συναρτηση

, με $|f(z)| \leq 1$ για $|z| \leq 1$ και f(0) = 0

, οριζουμε $g(z) = \frac{f(z)}{z}$ για $z \neq 0$ και g(0) = f'(0)

Ειναι η

υποχρεωτικα διαφορισημη στο 0??? Εχω την εντυπωση πως οχι, και νομιζω οτι μπορει να βρεθει αντιπαραδειγμα.
Η απορια μου δημιουργηθηκε διαβαζοντας μια αποδειξη του λημματος του Swartz στο πανεπιστημιακο συγγραμμα, οπου ο συγγραφεας παιρνει ως δεδομενη την ολομορφια της

μεσα στο δισκο (αρα και στο 0) χωρις καμια εξηγηση. Μπορει καποιος να βοηθήσει?

Ευχαριστω, Νικος

dgk · #2

Πραγματικά, η g είναι η ολόμορφη επέκταση τής f(z)/z επί τού μοναδιαίου κυκλικού δίσκου. Αυτό αποδεικνύεται συνδυάζοντας για τη συνάρτηση f(z)/z τα εξής:
1ο Αν μια συνάρτηση είναι ολόμορφη σ' έναν τόπο T τού μιγαδικού επιπέδου εξαιρέσει ενός σημείου a τού T, τότε μια ικανή και αναγκαία συνθήκη για να υπάρχει ολόμορφη επέκταση τής συνάρτησης επί τού T, είναι ότι η συνάρτηση είναι τοπικά φραγμένη στο a.
2ο Αν μια συνάρτηση είναι ολόμορφη σ' έναν τόπο T τού μιγαδικού επιπέδου εξαιρέσει ενός σημείου a τού T, τότε η συνάρτηση είναι τοπικά φραγμένη στο a, αν, και μόνο αν, υπάρχει στο C το όριο τής συνάρτησης στο a.

#3

Nick1990 έγραψε:Καλησπερα
Εχουμε μια ολομορφη μιγαδικη συναρτηση , με $|f(z)| \leq 1$ για $|z| \leq 1$ και , οριζουμε $g(z) = \frac{f(z)}{z}$ για $z \neq 0$ και
Ειναι η υποχρεωτικα διαφορισημη στο 0??? Εχω την εντυπωση πως οχι, και νομιζω οτι μπορει να βρεθει αντιπαραδειγμα.
Η απορια μου δημιουργηθηκε διαβαζοντας μια αποδειξη του λημματος του Swartz στο πανεπιστημιακο συγγραμμα, οπου ο συγγραφεας παιρνει ως δεδομενη την ολομορφια της μεσα στο δισκο (αρα και στο 0) χωρις καμια εξηγηση. Μπορει καποιος να βοηθισει?

Ευχαριστω, Νικος

Ανέπτυξε την

σε δυναμοσειρά.

Ουσιαστικά η

είναι $g(z)=\sum_{k=1}^{\infty} f^{(k)}(0)\frac{z^{k-1}}{k!}$ που είναι αναλυτική.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Nick1990 · #4

achilleas έγραψε:
Nick1990 έγραψε:Καλησπερα
Εχουμε μια ολομορφη μιγαδικη συναρτηση , με $|f(z)| \leq 1$ για $|z| \leq 1$ και , οριζουμε $g(z) = \frac{f(z)}{z}$ για $z \neq 0$ και
Ειναι η υποχρεωτικα διαφορισημη στο 0??? Εχω την εντυπωση πως οχι, και νομιζω οτι μπορει να βρεθει αντιπαραδειγμα.
Η απορια μου δημιουργηθηκε διαβαζοντας μια αποδειξη του λημματος του Swartz στο πανεπιστημιακο συγγραμμα, οπου ο συγγραφεας παιρνει ως δεδομενη την ολομορφια της μεσα στο δισκο (αρα και στο 0) χωρις καμια εξηγηση. Μπορει καποιος να βοηθισει?

Ευχαριστω, Νικος
Ανέπτυξε την σε δυναμοσειρά.

Ουσιαστικά η είναι $g(z)=\sum_{k=1}^{\infty} f^{(k)}(0)\frac{z^{k-1}}{k!}$ που είναι αναλυτική.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Το παραξενο της υποθεσης ειναι οτι η συγκεκριμενη αποδειξη που χρησημοποιει το συγκεκριμενο αποτελεσμα χωρις καμια αιτιολογιση, βρησκεται στο βιβλιο πριν απο τις δυναμοσειρες και απο διαφορα θεωρηματα περι ολομορφιας που εχω δει ξεφυλλιζοντας το... τελος παντων.... ευχαριστω που ασχοληθηκατε παντως

dgk · #5

achilleas έγραψε:
Ανέπτυξε την σε δυναμοσειρά.

Γιατί η f αναπτύσσεται σε δυναμοσειρά και στο σύνορο τού τόπου, όπου στην περίπτωση που εξετάζουμε είναι ο μοναδιαίος κυκλικός δίσκος;

achilleas έγραψε:Ουσιαστικά η είναι $g(z)=\sum_{k=1}^{\infty} f^{(k)}(0)\frac{z^{k-1}}{k!}$ που είναι αναλυτική.

Η ισότητα αυτή γιατί να ισχύει και για z=0;

#6

dgk νομίζω δεν υπάρχει πρόβλημα με την αντιμετώπιση του Αχιλλέα. Είναι δεδομένο πως η

είναι αναλυτική στο

.

Αν φυσικά το δεδομένο ήταν πως η συνάρτηση

είναι αναλυτική στο $D \setminus {0}$ και συνεχής στο 0 (με πεπερασμένο όριο) και ορίζαμε f(z) = zg(z)

(με

), τότε για να ακολουθήσουμε την προσέγγιση του Αχιλλέα θα έπρεπε να αποδείξουμε ότι η

είναι αναλυτική στο 0.

#7

dgk έγραψε:
achilleas έγραψε:
Ανέπτυξε την σε δυναμοσειρά.
Γιατί η f αναπτύσσεται σε δυναμοσειρά και στο σύνορο τού τόπου, όπου στην περίπτωση που εξετάζουμε είναι ο μοναδιαίος κυκλικός δίσκος;

Δε χρειάζεται ολομορφία στο σύνορο.
Η

είναι αναλυτική στο |z|<1

(αυτή είναι η υπόθεση του Λήμματος Schwartz) κι άρα η

είναι αναλυτική στο |z|<1

. Αυτό αρκεί.

dgk έγραψε:
achilleas έγραψε:Ουσιαστικά η είναι $g(z)=\sum_{k=1}^{\infty} f^{(k)}(0)\frac{z^{k-1}}{k!}$ που είναι αναλυτική.
Η ισότητα αυτή γιατί να ισχύει και για z=0;

Δεν καταλαβαίνω την ερώτηση. Αν αναπτύξει κανείς τις δυναμοσειρές η απάντηση είναι προφανής.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Ολομορφη σε δισκο με κεντρο την αρχη - Απορια

Ολομορφη σε δισκο με κεντρο την αρχη - Απορια

Re: Ολομορφη σε δισκο με κεντρο την αρχη - Απορια

Re: Ολομορφη σε δισκο με κεντρο την αρχη - Απορια

Re: Ολομορφη σε δισκο με κεντρο την αρχη - Απορια

Re: Ολομορφη σε δισκο με κεντρο την αρχη - Απορια

Re: Ολομορφη σε δισκο με κεντρο την αρχη - Απορια

Re: Ολομορφη σε δισκο με κεντρο την αρχη - Απορια

Μέλη σε σύνδεση