Ασκησεις πραγματικης αναλυσης:

369 · #1

1)αν (Χ,ρ) μ.χ. με την ιδιότητα κάθε αριθμήσιμο F υποσύνολο του Χ είναι κλειστό, τότε η ρ είναι ισοδύναμη της διακριτής μετρικής δ.
2)η αριθμήσιμη τομή Fσ συνόλων είναι Fσ;

#2

Mία ιδέα για το (1).
Aς ονομάσουμε $T_{d},T_{\delta}$ την διακριτική τοπολογία και την τοπολογία της μετρικής $\delta$ . Θέλουμε $T_{d}=T_{\delta }$ . Προφανώς $T_{d}\supseteq T_{\delta }$ . 'Εστω τώρα ένα οποιοδήποτε στοιχείο

της $T_{d}$ , Θα δείξουμε ότι είναι και $T_{\delta}$ -ανοικτό. Θεωρούμε στοιχείο του x_0

. Θα δείξουμε ότι υπάρχει σφαίρα $S\left( x_{0},\frac{1}{n}\right)$ που περιέχεται στο

. Θεωρούμε όλες τις σφαίρες $S\left( x_{0},\frac{1}{n}\right)$ . Αν ο ισχυρισμός δεν αληθεύει κάθε μία θα περιέχει στοιχείο x_n

εκτός του

. H ακολουθία $(x_{n})$ συγκλίνει στο x_0

και επειδή το σύνολο $\cup \left\{ x_{n}\right\}$ είναι κλειστό θα πρέπει να περιέχει το x_0

δηλαδή το

δεν θα ανήκει στο

(άτοπο). Τελικά το

ανήκει στο $T_{\delta }$ δηλαδή $T_{d}\subseteq T_{\delta }$ οπότε $T_{d}=T_{\delta }$ .
Μαυρογιάννης

#3

Kαι μία για το 2)
Αν $\left( F_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}}$ είναι μία οικογένεια $F_{\sigma }$ τότε το καθένα είναι αριθμήσιμη ένωση κλειστών συνόλων $F_{n}=\bigcup\limits_{m=1}^{\infty }K_{m,n}$ . Είναι $\bigcap\limits_{n=1}^{\infty }F_{n}=\left( \bigcup\limits_{m=1}^{\infty }K_{m,n}\right) =\bigcup\limits_{m=1}^{\infty }\left( \bigcap\limits_{n=1}^{\infty }K_{m,n}\right)$ και το τελευταίο σύνολο είναι επίσης $F_{\sigma }$ αφού είναι αριθμήσιμη ένωση των κλειστών συνόλων $\bigcap\limits_{n=1}^{\infty }K_{m,n}$ .
Μαυρογιάννης

369 · #4

nsmavrogiannis έγραψε:Kαι μία για το 2)
Αν $\left( F_{n}\right) _{n\in \mathbb{N}}$ είναι μία οικογένεια $F_{\sigma }$ τότε το καθένα είναι αριθμήσιμη ένωση κλειστών συνόλων $F_{n}=\bigcup\limits_{m=1}^{\infty }K_{m,n}$ . Είναι $\bigcap\limits_{n=1}^{\infty }F_{n}=\left( \bigcup\limits_{m=1}^{\infty }K_{m,n}\right) =\bigcup\limits_{m=1}^{\infty }\left( \bigcap\limits_{n=1}^{\infty }K_{m,n}\right)$ και το τελευταίο σύνολο είναι επίσης $F_{\sigma }$ αφού είναι αριθμήσιμη ένωση των κλειστών συνόλων $\bigcap\limits_{n=1}^{\infty }K_{m,n}$ .
Μαυρογιάννης

thanks

χρηστος ευαγγελινος · #5

δεν εχω ελεγξει λεπτομερως την ιδεα μου για το (1) αλλα παει καπως ετσι.

για να δειξουμε οτι η μετρικη ειναι ισοδυναμη με τη διακριτη αρκει να δειξουμε οτι τα μονοσυνολα ειναι ανοιχτα.

υποθετουμε οτι υπαρχει καποιο μονοσυνολο που δεν ειναι ανοιχτο εστω το {χ}.τοτε η σφαιρα κεντρου χ και οποιασδηποτε ακτινας δεν περιεγχει μονο το χ αλλα και αλλα στοιχεια.ετσι βρισκουμε στοιχεια y_n εν S(x,1/n) για καθε n με y_n διαφορο του x για καθε n.ειναι προφανες τωρα οτι η y_n συγκλινει στο χ και αρα το χ βρισκεται στην κλειστη θηκη ολων των y_n.ομως το συνολο ολων των y_n ειναι αριθμησιμο οποτε λογω της υποθεσης ισουται με τη θηκη του.αρα το χ ειναι ορος της ακολουθιας,ατοπο!

Ασκησεις πραγματικης αναλυσης:

Ασκησεις πραγματικης αναλυσης:

Re: Ασκησεις πραγματικης αναλυσης:

Re: Ασκησεις πραγματικης αναλυσης:

Re: Ασκησεις πραγματικης αναλυσης:

Re: Ασκησεις πραγματικης αναλυσης:

Μέλη σε σύνδεση