Ανισότητα και ολοκλήρωμα

[mathxl]

Αν f δύο φορές παραγωγίσιμη στο [0,2π] ώστε η δεύτερη παράγωγος να είναι συνεχής και να ισχύει f''(χ)>0 για κάθε x του [0,2π], να δείξετε ότι

[Spribo]

.
Αλλά για κάθε x που ανήκει στο [0,2π], ισχύει
, μηδενίζεται δε αυτό σε πεπερασμένο πλήθος σημείων (2), οπότε .

[mathxl]

Έχουμε ίδια λύση. Παραγοντική έχω κάνει και εγώ αλλά μετά πήρα συνχ=<1 πολλαπλασίασα με f'' κτλ.

Η άσκηση ίσως έχει περισσότερο ενδιαφέρον εάν γνωρίζουμε μόνο ότι η f είναι κυρτή στο [0,1]. Μπορούμε να δείξουμε το ζητούμενο;

[Spribo]

Δηλαδή τώρα η άσκηση γίνεται "Αν η f είναι κυρτή στο [0,1], να δειχτεί ότι ";

[mathxl]

Ναι (το κυρτή σχολικά ορισμένο)

[Spribo]

Ποια είναι η ακριβής διατύπωση της άσκησης; Εννοώ, δε γνωρίζουμε ούτε καν αν είναι συνεχής στο [0,2π] η f;

[mathxl]

Αντιγράφω τον σχολικό ορισμό

ΟΡΙΣΜΟΣ
Έστω μία συνάρτηση f σ υ ν ε χ ή ς σ’ ένα διάστημα Δ και π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ. Θα λέμε ότι:
• Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο Δ, αν η είναι γνησίως αύξουσα στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ.
• Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο Δ, αν η είναι γνησίως φθίνουσα στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ.

[Spribo]

Ναι, αλλά εμείς έχουμε την κυρτότητα στο [0,1], όχι στο [0,2π].

[mathxl]

Δική μου αβλεψία σε παλάιότερο μήνυμα μου. Εννοούσα στο [0,2π] και όχι στο [0,1]. Σε ευχαριστώ Spribo


Το [0,1] που το ανακάλυψα.... ...ποιος ξέρει τι σκεφτόμουν τότε...

[Spribo]

Α! Ευχαριστώ... Θα την προσπαθήσω ξανά τώρα...

[Demetres]

Χωρίζουμε το ολοκλήρωμα στα διαστήματα και . Κάνοντας κατάλληλες αλλαγές μεταβλητών βρίσκουμε ότι



Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι η συνάρτηση είναι μη αρνητική στο .

Αυτό προκύπτει είτε από τον σχολικό ορισμό είτε ακόμη και από τον ορισμό που λέει ότι η είναι κυρτή στο διάστημα αν και μόνο αν για κάθε και κάθε . Το αφήνω σαν άσκηση

[Για αυστηρή ανισότητα χρειάζεται να γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση είναι αυστηρά κυρτή ή κάτι παρόμοιο.]