Πιθανότητες με ασσύμετρες κατανομές

[Ραϊκόφτσαλης Θωμάς]

Καλησπέρα σε όλους.
Μιας και ο φίλος μας ο Βασίλης με ευχαρίστησε, για να τον ευχαριστήσω και εγώ, στέλνω μια άσκηση που είχα βάλει κάποτε σε γενικό διαγώνισμα και οι μαθητές είχαν βρει δυσκολία.
Οι μαθητές πρέπει να καταλάβουν ότι η μέση τιμή επηρεάζεται από τις ακραίες τιμές, οπότε από τις ασυμμετρίες ας βγάλουν τα συμπεράσματά τους, ενώ η κατακόρυφη ευθεία που ορίζει η διάμεσος χωρίζει τη καμπύλη συχνοτήτων σε δυο ισεμβαδικά χωρία.
Η άσκηση τώρα είναι η εξής:
Ρίχνουμε ένα ζάρι δύο φορές. Στην ένδειξη της πρώτης ρίψης αντιστοιχούμε την μέση τιμή μιας κατανομής και στην ένδειξη της δεύτερης ρίψης αντιστοιχούμε την διάμεσο δ της ίδιας κατανομής. Από τον δειγματικό χώρο του πειράματος επιλέγουμε τυχαία ένα ζεύγος ενδείξεων. Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων:
Α: «η κατανομή είναι ασύμμετρη με θετική ασυμμετρία»,
Β: «η κατανομή είναι ασύμμετρη με αρνητική ασυμμετρία»,
Γ: «η κατανομή είναι κανονική»,
Δ: «η κατανομή είναι ασύμμετρη με θετική ασυμμετρία ή κανονική».
Θωμάς

[mathxl]

Καλησπέρα σε όλους.
Μιας και ο φίλος μας ο Βασίλης με ευχαρίστησε, για να τον ευχαριστήσω και εγώ, στέλνω μια άσκηση που είχα βάλει κάποτε σε γενικό διαγώνισμα και οι μαθητές είχαν βρει δυσκολία.
Οι μαθητές πρέπει να καταλάβουν ότι η μέση τιμή επηρεάζεται από τις ακραίες τιμές, οπότε από τις ασυμμετρίες ας βγάλουν τα συμπεράσματά τους, ενώ η κατακόρυφη ευθεία που ορίζει η διάμεσος χωρίζει τη καμπύλη συχνοτήτων σε δυο ισεμβαδικά χωρία.
Η άσκηση τώρα είναι η εξής:
Ρίχνουμε ένα ζάρι δύο φορές. Στην ένδειξη της πρώτης ρίψης αντιστοιχούμε την μέση τιμή μιας κατανομής και στην ένδειξη της δεύτερης ρίψης αντιστοιχούμε την διάμεσο δ της ίδιας κατανομής. Από τον δειγματικό χώρο του πειράματος επιλέγουμε τυχαία ένα ζεύγος ενδείξεων. Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων:
Α: «η κατανομή είναι ασύμμετρη με θετική ασυμμετρία»,
Β: «η κατανομή είναι ασύμμετρη με αρνητική ασυμμετρία»,
Γ: «η κατανομή είναι κανονική»,
Δ: «η κατανομή είναι ασύμμετρη με θετική ασυμμετρία ή κανονική».
Θωμάς

Θωμά ωραία παραλλαγή της άσκησης 2 σχολική σελίδα 146 και της ερώτησης κατανόησης σελίδα133 , 25
Για το Α πρέπει η ένδειξη του πρώτου ζαριού να είναι (μέση τιμή) να είναι μεγαλύτερη της δεύτερης (διαμέσου)
Για το Β να ισχύει ακριβώς το αντίστροφο
Για το Γ οι ενδείξεις να είναι ίσες (μέση = διάμεσος)
Δ= Α ένωση Γ (ασυμβίβαστα)
Ν(Ω)=36 τα 'αλλα είναι εύκολα

[chris_gatos]

Καλησπέρα Θωμά!
Λοιπόν : θετικά ασύμμετρη σημαίνει : .
Αρνητικά ασύμμετρη σημαίνει .
Κανονική σημαίνει .
Αρχίζω απο το Γ (Κανονική) που είναι πιο...εύκολο! Είναι Ρ(Γ)=6/36=1/6.
Α: θετικά ασύμμετρη(πρώτη ένδειξη μεγαλύτερη).Ρ(Α)=15/36 (αν μέτρησα σωστα,είναι και βράδυ)
Β: αρνητικά ασύμμετρη (πρώτη ένδειξη μικρότερη). Ρ(Β)=15/36
Δ: Ρ(Δ)=(15+6)/36=21/36=7/12

[Καρδαμίτσης Σπύρος]

Προσοχή έχω μια ένσταση στην κατασκευή της άσκησης
Γνωρίζουμε ότι αν η κατανομή είναι κανονική τότε η διάμεσος και η μέση τιμή της συμπίπτουν, αλλά
ΤΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ ΔΕΝ ΙΣΧΥΕΙ!!!!

Αντιπαράδειγμα
Στην κατανομή με την παρακάτω καμπύλη η διάμεσος και η μέση τιμή συμπίπτουν αλλά δεν είναι κανονική.

Επομένως δεν μπορούμε να ισχυριστούμε στο Γ ότι αν η μέση τιμή είναι ίση με την διάμεσο σε μια κατανομή, τότε αυτή είναι κανονική.

Ας το συζητήσουμε το σημείο αυτό.

[chris_gatos]

Kαλημέρα... Μα η άσκηση είναι πεντακάθαρη. Λέει ''όταν η κατανομή είναι κανονική''. Αρα
ΥΠΟΘΕΣΗ
Η κατανομή είναι κανονική
ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
.
Και πατάει πάνω εκεί. Απο που προκύπτει πως ζητάει το αντιστροφο;

[sybe]

Καλημέρα.
Από ότι κατάλαβα, ο Spyrosk εννοεί ότι όταν παίρνουμε την πιθανότητα 6/36 παίρνουμε την πιθανότητα η μέση τιμή να είναι ίση με τη διάμεσο και όχι την πιθανότητα να έχουμε κανονική κατανομή.
Αν θεωρήσουμε Ε το ενδεχόμενο η μέση τιμή να είναι ίση με τη διάμεσο, τότε
Γ υποσύνολο του Ε και ισχύει ότι P(Γ) μικρότερο ή ίσο του 6/36.

[chris_gatos]

Παίρνουμε την πιθανότητα του ενδεχομένου Γ ''Η κατανομή είναι κανονική'' απ'όπου και προκύπτει . Δε μπορώ να συλλάβω τη σκέψη ή την υποψία του αντίστροφου, ειλικρινά.

[sybe]

Έτσι όπως το καταλαβαίνω:
Ο δειγματικός μας χώρος έχει μέση τιμή μεγαλύτερη από διάμεσο, διάμεσο μεγαλύτερη από μέση τιμή και διάμεσο ίση με μέση τιμή.
Άρα ξεκινάμε με πιθανότητα διάμεσο ίση με μέση τιμή.

Μπορεί να κάνω και λάθος...

[chris_gatos]

Η δική μου άποψη είναι πως ,συζητώντας για το συγκεκριμένο Δ.Χ ξεκινάμε με την υπόθεση: έστω το ενδεχόμενο Γ '' Η κατανομή είναι κανονική'' ΑΡΑ (συμπέρασμα απο υπόθεση),αρα Ρ(Γ)=..... Δεν είναι θέμα λάθους, λάθος μπορεί να έχω εγώ, αλλά νομιζω πως είναι πεντακάθαρος ο συλλογισμός...

[Ραϊκόφτσαλης Θωμάς]

Καλημέρα σε όλους. Μια αναθεματισμένη γρίπη με έχει σμπαραλιάσει.
Να ευχαριστήσω τον Σπύρο τον Καρδαμίτση για την εύστοχη παρατήρησή του, σε σχέση με τη διάμεσο και τη μέση τιμή στη κανονική κατανομή. Πολύ διδακτική και δίνει ένα πολύ ωραίο Σ - λ.
Στην άσκηση τώρα.
Αν θεωρήσουμε σαν Γ το ενεδεχόμενο η κατανομή να είναι κανονική, ζητάμε να βρεθεί η Ρ(Γ), οπότε έχουμε 6 περιπτώσεις με , σε σύνολο 36.

Χρήστο και Sybe να είστε πάντα καλά.
Θωμάς.

[Καρδαμίτσης Σπύρος]

Θωμά – Χρήστο-sybe, τελικά όλα είναι θέμα παρανόησης της εκφώνησης, επομένως ίσως θα πρέπει να αναδιατυπωθεί ώστε να μην γίνονται συγχύσεις. Πάντως η εκφώνηση μου φαίνεται ότι όπως είναι διατυπωμένη θεωρείται ότι η διάμεσος είναι ίση με την μέση τιμή και στην συνέχεια ζητείται η πιθανότητα. Ίσως κάνω λάθος, αλλά η ουσία είναι η επισήμανση των ιδιοτήτων της κανονικής κατανομής που πολλές φορές παρερμηνεύεται.

[chris_gatos]

Σπύρο εγω συνεχίζω να μην καταλαβαίνω που βλέπεις αυτό που λες στην εκφώνηση. Στα προηγούμενα post μου στο θέμα παραθέτω αυτό που ακριβώς βλέπω και καταλαβαίνω...

[antonis_math]

Nομίζω πως θα ήταν ασφαλέστερο, και θα είμασταν περισσότερο καλυμένοι, να κάναμε το Γ :
'να μην έχει ούτε θετική ούτε αρνητική συμμετρία'

για τον λόγο οτι δεν είναι ξεκάθαρη -απο την εκφώνηση ως έχει- η βούλησή μας να επιλέξουμε ειδικά κανονική κατανομή και όχι γενικότερα απλά να ικανοποιήσουμε το μ=δ με οποιαδήποτε κατανομή με αυτό τo χαρακτηριστικό

[chris_gatos]

Παιδιά συνεχίζω να αδυνατώ να παρακολουθήσω τη σκέψη σας. Εγώ καταλαβαίνω απο την εκφώνηση πως η κατανομή είναι κανονική . Ζητάει με τι πιθανότητα θα συνέβαινε αυτό...Εσείς μπορείτε να παραθέσετε τι καταλαβαίνετε απο το ερώτημα;

[sybe]

Γεια σας.
Θα προσπαθήσω να εξηγήσω πως το βλέπω με λίγο διαφορετικό τρόπο...
Στον δειγματικό χώρο έχουμε 6 περιπτώσεις που συναντάμε .

Πως ξέρουμε ότι και οι 6 περιπτώσεις εκφράζουν κανονική κατανομή και δεν υπάρχει έστω μία που να εκφράζει την κατανομή που έδωσε ο Σπύρος?

[chris_gatos]

Μα φυσικά και δεν το ξέρουμε. Το μόνο που ξερουμε είναι πως η κατανομή είναι κανονική. Αρα ποιές είναι οι ΠΙΘΑΝΕΣ περιπτώσεις;; Όλες εκείνες για τις οποίες .

[mathxl]

Καλησπέρα σας
Η λύση μου θα ήταν αυτή του Χρήστου
Ύστερα από το σχόλιο του Σπύρου και της Sybe(δεν ξέρω το όνομα σου) ως προς την καταχώρηση ή μη ενός στοιχείου του ΔΧ ως στοιχείου του Γ λαμβάνουμε ως κριτήριο μέση τιμή = διάμεσος το οποίο είναι λάθος. Οπότε μάλλον θα την έλυνα λάνθασμένα αν και γνωρίζω αυτό που επεσήμανε ο Σπύρος

Νομίζω ότι μία αλλαγή στην εκφώνηση του τύπου 'να μην έχει ούτε θετική ούτε αρνητική συμμετρία' δεν μας καλύπτει, μιας και αυτό συμβαίνει με την κατανομή που δινει ο Σπύρος στο σχήμα που παρέθεσε. Μία αλλαγή που προτείνω στην εκφώνηση : Αν κάθε κατανομή είναι ασσύμετρη θετικά ή αρνητικά ή κανονική τότε να βρεθούν οι πιθανότητεσ μπλα μπλα μπλα...

Σχόλιο: Από το σχήμα του Σπύρου προκύπτει η παρακάτω ερωτήση
Ερώτηση 1: Μπορούμε να πούμε ότι μία κατανομή είναι κανονική αν μέση τιμή = διάμεσος = κορυφή, εφόσον η κορυφή είναι μοναδική
Απάντηση: όχι (σκεφτείτε μία κατανομή με σχήμα ισοσκελούς τριγώνου)

[Ραϊκόφτσαλης Θωμάς]

Θωμά – Χρήστο-sybe, τελικά όλα είναι θέμα παρανόησης της εκφώνησης, επομένως ίσως θα πρέπει να αναδιατυπωθεί ώστε να μην γίνονται συγχύσεις. Πάντως η εκφώνηση μου φαίνεται ότι όπως είναι διατυπωμένη θεωρείται ότι η διάμεσος είναι ίση με την μέση τιμή και στην συνέχεια ζητείται η πιθανότητα. Ίσως κάνω λάθος, αλλά η ουσία είναι η επισήμανση των ιδιοτήτων της κανονικής κατανομής που πολλές φορές παρερμηνεύεται.

Σπύρο σε χαιρετώ. Πες μου την άποψή σου για το πως θα έπρεπε να διατυπωθεί το Γ ερώτημα.
Αν βάζαμε στις αρχικές συνθήκες τη προϋπόθεση ότι οι κατανομές είναι όλες ασύμετρες ή κανονικές θα ήταν καλύτερα;
Θωμάς

[Καρδαμίτσης Σπύρος]

Xρήστο - Θωμά για δείτε τον συλλογισμό μου….

Έχουμε ένα πείραμα τύχης και το δειγματικό χώρο του Ω που περιέχει 36 στοιχεία, επιλέγω ένα ζεύγος στην τύχη και έστω ότι αυτό για παράδειγμα είναι το ζεύγος

Μπορούμε αυτό το συγκεκριμένο ζεύγος να το θεωρήσουμε ως στοιχείο του συνόλου Γ; Έχω την άποψη πως όχι, γιατί το στοιχείο αυτό που έχει μέση τιμή και διάμεσο ίση δεν είναι απαραίτητα στοιχείο κανονικής κατανομής.

Δεν ξέρω μπορεί να κάνω λάθος

Θα προσπαθήσω να αναδιατυπώσω την ερώτηση ως να αποκλείει οποιαδήποτε παρερμηνεία

[antonis_math]

Νομίζω ότι μία αλλαγή στην εκφώνηση του τύπου 'να μην έχει ούτε θετική ούτε αρνητική συμμετρία' δεν μας καλύπτει, μιας και αυτό συμβαίνει με την κατανομή που δινει ο Σπύρος στο σχήμα που παρέθεσε. Μία αλλαγή που προτείνω στην εκφώνηση : Αν κάθε κατανομή είναι ασσύμετρη θετικά ή αρνητικά ή κανονική τότε να βρεθούν οι πιθανότητεσ μπλα μπλα μπλα...

Αν θέλει κάποιος ας με διαφωτίσει . Είναι σωστό το παρακάτω?
Το να είναι μ< δ είναι ισοδύναμο με το να έχω αρνητική συμμετρία
το να είναι μ>δ είναι ισοδύναμο με το να έχω θετική συμμετρία
το να είναι μ=δ είναι ισοδύναμο με το να μην έχω ούτε θετική ούτε αρνητική συμμετρία.
ευχαριστώ