Τριγωνομετρία

#1

Αν α, x, y, z πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε να ισχύει:

$\displaystyle{ \frac{{\cos x + \cos y + \cos z}}{{\cos (x + y + z)}} = \frac{{\sin x + \sin y + \sin z}}{{\sin (x + y + z)}} = a }$

τότε να αποδείξετε την ισότητα:

$\displaystyle{ \cos (x + y) + \cos (y + z) + \cos (z + x) = a }$

Christos.N · #2

Πολύ καλησπέρα..

cos(x+y)=cos(x+y+z-z)=cos(x+y+z)cosz+sin(x+y+z)sinz

(1)
ομοίως: cos(x+z)=cos(x+y+z)cosy+sin(x+y+z)siny

(2)
και

(3)

προσθέτοντας κατα μέλη τις (1),(2),(3) έχουμε:
cos(y+z)+cos(x+y)+cos(x+z)=cos(x+y+z)(cosx+cosy+cosz)+sin(x+y+z)(sinx+siny+sinz)==acos^2(x+y+z)+asin^2(x+y+z)=a

καθώς με την αρχική μας υπόθεση έχουμε ότι: cosx+cosy+cosz=acos(x+y+z)

και

.

Να δείξουμε επίσης ότι sin(x+y)+sin(x+z)+sin(y+z)=0

;

#3

Χρήστο ευχαριστώ για τη λύση ας κάνω τη δική σου.

Θέτω x+y+z=w.

Τότε: sin(x+y)=sin(w-z)=sinwcosz-coswsinz
sin(y+z)=sin(w-x)=sinwcosx-coswsinx
sin(z+x)=sin(w-y)=sinwcosy-coswsiny

Προσθέτοντας κατά μέλη τις σχέσεις λαμβάνουμε:

sin(x+y)+sin(y+z)+sin(z+x)=sinw(cosx+cosy+cosz)-cosw(sinx+siny+sinz)

απ'όπου λόγω των αρχικών σχέσεων:

sin(x+y)+sin(y+z)+sin(z+x)=αsinwcos(x+y+z)-αcoswsin(x+y+z)=α(sinwcosw-coswsinw)=0

Math Rider · #4

Μία ακόμα προσέγγιση στο συνημμένο

#5

Μου άρεσε πολύ γιατί είδαμε τρείς διαφορετικούς τρόπους αντιμετώπισης!
Ευχαριστώ και το Νίκο.

Christos.N · #6

Math Rider έγραψε:Μία ακόμα προσέγγιση στο συνημμένο

Μιλάμε Νίκο φυσάς...

έτσι;

και εννοείτε ο Χρήστος με τις πενιές του.

#7

Math Rider έγραψε:Μία ακόμα προσέγγιση στο συνημμένο

πολύ καλό!

Τριγωνομετρία

Τριγωνομετρία

Re: Τριγωνομετρία

Re: Τριγωνομετρία

Re: Τριγωνομετρία

Re: Τριγωνομετρία

Re: Τριγωνομετρία

Re: Τριγωνομετρία

Μέλη σε σύνδεση