Γραμμική Άλγεβρα, δύσκολη

[AlexandrosG]

Έστω πραγματικοί πίνακες με και . Να αποδειχθεί ότι ο πίνακας είναι αντιστρέψιμος.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Αφιερωμένο στους Νικόλα, Λεωνίδα (περιμένω λύση ), Βασίλη, Ηλία, Κώστα και Ψυχ

[Ilias_Zad]

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Λημμα:

Οι πίνακες αντιμετατίθενται αρα εχουν κοινη βαση που γινονται ταυτόχρονα ανω τριγωνικοι.
(Sketch της αποδειξης : επαγωγη και χρηση κοινου ιδιοδιανυσματος)

Τωρα για να έχουμε το ζητούμενο αρκεί να δείξουμε ότι δεν υπάρχουν ωστε ,με ιδιοτιμη του και ιδιοτιμη του .

Ομως οι ιδιοτιμές του ειναι -ριζες της μονάδας και του , είναι -ρίζες της μονάδας αντίστοιχα.

Συνεπως θέλουμε να δείξουμε το αδύνατο της εξίσωσης:
, με -οστή ριζα της μονάδας

Απο εδώ όμως παιρνόντας σε τριγωνομετρική μορφή εχουμε οτι πρέπει

ή κάτι αδύνατο σε κάθε περίπτωση.

Mάλιστα αν είναι σωστά τα παραπάνω αντι μας αρκουσαν δυο τυχαίοι φυσικοί που ο ένας δεν διαρείται απο το .

[AlexandrosG]

Ηλία πολύ ωραίος
Έχω την ίδια ακριβώς λύση. Περίεργο γιατί η επίσημη είναι τελείως διαφορετική.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Να σημειώσω εδώ κάτι για το λήμμα. Το θεώρημα της παραγοντοποίησης του Schur λέει ότι για κάθε πίνακα είναι όπου τριγωνικός και ορθομοναδιαίος. Αν όμως τότε μπορούμε να διαλέξουμε τον ίδιο στην Schur παραγοντοποίηση τους. Δεν είπα κάτι που δεν λέει ο Ηλίας, απλά το τόνισα.

[Ilias_Zad]

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

]Να σημειώσω εδώ κάτι για το λήμμα. Το θεώρημα της παραγοντοποίησης του Schur λέει ότι για κάθε πίνακα είναι όπου τριγωνικός και ορθομοναδιαίος. Αν όμως τότε μπορούμε να διαλέξουμε τον ίδιο στην Schur παραγοντοποίηση τους. .

Έλα! Έχεις απόδειξη για κάτι τέτοιο;
Εγώ μόνο με επαγωγή έχω καταφέρει να δείξω το λήμμα.

[lemonidas]

Ωραία άσκηση. Να πω ότι δεν χρειάζεται καν άνω τριγωνική μορφή... Μπορούμε να το πάμε σε καθαρά διαγώνιους πίνακες.

Γενικά κάθε πίνακας με είναι διαγωνοποιήσιμος γιατί το ελάχιστό του πολυώνυμο διαιρεί το και άρα όλοι οι όροι του είναι πρωτοβάθμιοι. Επίσης αφού οι πίνακες είναι και ταυτόχρονα διαγωνοποιήσιμοι.. Και αναγόμαστε στην ίδια (αδύνατη) εξίσωση.

(Για απόδειξη του παραπάνω http://www.math.uri.edu/~quinn/web/mth5 ... em1312.pdf - γενικά έχει και μπόλικες άλλες ιδιοτητούλες..)

[Ilias_Zad]

Όντως Λεωνίδα.Σωστός

Τώρα παραθέτω σε hide μια απόδειξη (σε βήματα) που πιστεύω ότι έκανα για τον ορθομοναδιαίο που ρώτησα τον Αλέξανδρο.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

1)επαγωγή- τετριμμένο.
2)Επαγωγικό βήμα: εστω οτι ισχύει για . Πάμε για .
Eπεκτείνουμε ένα κοινό ιδιοδιάνυσμα των (υπάρχει,γιατι;) σε μια διατεταγμένη ορθοκανονική βάση.Εστω ότι ο πίνακας αλλαγής βάσης ως προς αυτην ειναι ο .
Γνωριζουμε οτι ως προς αυτη την βαση οι έχουν στην πρώτη στήλη αντίστοιχη ιδοτιμή στο (1,1) και πιο κατω μηδενικά.
3)Τα κάτω δεξιά blocks εστω των αντίστοιχα ικανοποιούν την επαγωγική υπόθεση οποτε υπάρχει πινακας ορθομοναδιαίος ωστε και οι δυο να είναι ανω τριγωνικοι ως προς αυτήν την βάση.
4)Θεωρούμε τον πίνακας . Είναι ορθομοναδιαίος και ως προς αυτον τριγωνοποιούνται και οι πίνακες μας οπότε τελείωσαμε.