ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Κώστας Μαλλιάκας · #181

achilleas έγραψε:
Κώστας Μαλλιάκας έγραψε: Πιθανό αντιπαράδειγμα: Ποια η συνεχής συνάρτηση f στο R για την οποία ισχύει:

$f^2 (x)-(3x-1)f(x)+2x^2 -x = 0 , \forall x \in \mathbb R , f(o)=1$

Η διαδικασία της διακρίνουσας είναι ικανή από μόνη της να βρει την συνάρτηση f;
Το δε μπορεί να είναι 1, άρα δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση.

Μήπως εννοείται ? Προχωρώ με αυτό το δεδομένο:

Λύση: Έστω πραγματικός , οποιοσδήποτε μεν αλλά σταθερός. Η διακρίνουσα της αντίστοιχης εξίσωσης είναι , οπότε

$f(x)=\frac{3x-1+|x-1|}{2}$ ή $f(x)=\frac{3x-1-|x-1|}{2}$ .

Έχουμε τις περιπτώσεις:

(i) $x\geq 1$ . Τότε

ή .

ii) $x\leq 1$ . Τότε

ή .

(Στις σχέσεις αυτές φτάνουμε είτε με διακρίνουσα είτε χωρίς, για δοθέν σταθερό )

Μπορούμε να σχεδιάσουμε τις αντίστοιχες ευθείες σε ορθογώνιο σύστημα συντατεγμένων για να δούμε που τέμνονται. Η συνέχεια και η συνθήκη για το θα μας δώσει τις πιθανές λύσεις.

Αφού και η είναι συνεχής, ισχύει

για κάθε $x\leq 1$ .

Για $x\geq 1$ , λόγω συνέχειας και πάλι έχουμε

για κάθε $x\geq 1$ ή για κάθε $x\geq 1$ .

Συνοψίζοντας οι δυνατές λύσεις (με είναι δύο:

1) $\displaystyle{f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x-1} } & {x \leq 1} \\ {x } & {x\geq 1} \\ \end{array} } \right.}$
και

2) για κάθε .

Σημείωση: H διακρίνουσα, όπως έχει τονισθεί πολλές φορές μας δίνει πιθανές τιμές και δεν λύνει το πρόβλημα...από μόνη της.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Συγγνώμη κατά λάθος γιατί αρχικά είχα άλλο αντιπαράδειγμα στο νου μου είναι f(1)=1

#182

nsmavrogiannis έγραψε: Η πλειονότητα των επίμονων επί του θέματος συζητητών έχει τοποθετηθεί επώνυμα. Με ότι σημαίνει αυτό. Στην κουβέντα όταν χοντραίνει δεν έχουν θέση ανώνυμοι κεκράκτες , συστηματικοί υπερασπιστές της άποψης ενός συγκεκριμένου μέλους. Παρακαλώ ας κάνουν στην μπάντα. Θα ένοιωθα πολύ δυσάρεστα αν αν στο συγκεκριμένο θέμα έπρεπε να επανέλθω.

Δυστυχώς είμαι αναγκασμένος να επανέλθω.

alkinoos έγραψε:Θα ζητούσα από τους συντονιστές να μην διαγράψουν κάτι από τα παραπάνω. Θεωρώ ότι δεν προσβάλλω κανέναν και απλά κάνω κάποιες διαπιστώσεις που είναι εμφανείς και απλά δεν θέλω να κρυβόμαστε πίσω από το δάχτυλό μας( με το ίδιο σκεπτικό δεν διαγράψατε αυτά που έγραψε ο smar)

Ακόμη και με την ορατότητα του επισκέπτη ή μέλους του mathematica (οι διαχειριστές μας φυσικά έχουν πολύ καλλίτερη ορατότητα ) γίνεται πλήρως κατανοητό ότι το μέλος μας alkinoos αισθάνεται σταθερά την ανάγκη να υπερασπίσει τις απόψεις του Αντώνη Κυριακόπουλου. Μία απλή εξέταση των δημοσιεύσεων του είναι αρκετή. Κάποια σχόλια:
Λογικό: Πολλοί τιμούν το έργο και την προσφορά του Α. Κυριακόπουλου.
'Ασκοπο: Ο Α. Κυριακόπουλος δεν χρειάζεται την υπεράσπιση κανενός. 'Εχει, και με το παραπάνω θα έλεγα, την διάθεση και την ικανότητα να το κάνει μόνος του
Αντιαισθητικό: Δεν είναι ωραίο (το λιγότερο) σε κάποιο θέμα που οι συνομιλητές έχουν βάλει φαρδιά πλατιά τα επώνυμα τους (ή είναι γνωστά) να ξεπροβάλει κάποιος ανωνυμογράφος για να τους βάλει στη θέση τους. Σε μια δημόσια συζήτηση (όχι διαμάχη εδώ συμφωνώ με τον Σωτήρη Λουρίδα) υπάρχει για τους συνομιλητές που βάζουν το όνομα τους κάποιο ρίσκο: "Εκτίθενται" στο κοινό, χρεώνονται προσωπικά τα ατοπήματα τους, θα φορτωθούν τις όποιες αρνητικές εντυπώσεις προκάλεσε η στάση τους. Οι ανωνυμογράφοι τι διακινδυνεύουν;
Αντικανονικό Οι κανόνες δεοντολογίας που συνοδεύουν τον κανονισμό μας γράφουν "Σε περίπτωση που έχετε επιλέξει την ανωνυμία δεν πρέπει να κάνετε κατάχρησή της. Ειδικότερα να αποφεύγετε να ασκείτε έντονη κριτική για μη καθαρά μαθηματικά ζητήματα σε μέλη που επιλέγουν την επωνυμία και αναλαμβάνουν την ευθύνη όσων γράφουν."
Θα παρακαλούσα λοιπόν το μέλος μας alkinoos να δει ποια είναι η πραγματική κατάσταση και να δείξει ανάλογη διακριτικότητα με εκείνη που έχουμε δείξει όλο αυτό τον καιρό.
Μαυρογιάννης

Κώστας Μαλλιάκας · #183

achilleas έγραψε:
Κώστας Μαλλιάκας έγραψε: Πιθανό αντιπαράδειγμα: Ποια η συνεχής συνάρτηση f στο R για την οποία ισχύει:

$f^2 (x)-(3x-1)f(x)+2x^2 -x = 0 , \forall x \in \mathbb R , f(o)=-1$

Η διαδικασία της διακρίνουσας είναι ικανή από μόνη της να βρει την συνάρτηση f;

Λύση: Έστω πραγματικός , οποιοσδήποτε μεν αλλά σταθερός. Η διακρίνουσα της αντίστοιχης εξίσωσης είναι , οπότε

$f(x)=\frac{3x-1+|x-1|}{2}$ ή $f(x)=\frac{3x-1-|x-1|}{2}$ .

Έχουμε τις περιπτώσεις:

(i) $x\geq 1$ . Τότε

ή .

ii) $x\leq 1$ . Τότε

ή .

(Στις σχέσεις αυτές φτάνουμε είτε με διακρίνουσα είτε χωρίς, για δοθέν σταθερό )

Μπορούμε να σχεδιάσουμε τις αντίστοιχες ευθείες σε ορθογώνιο σύστημα συντατεγμένων για να δούμε που τέμνονται. Η συνέχεια και η συνθήκη για το θα μας δώσει τις πιθανές λύσεις.

Αφού και η είναι συνεχής, ισχύει

για κάθε $x\leq 1$ .

Για $x\geq 1$ , λόγω συνέχειας και πάλι έχουμε

για κάθε $x\geq 1$ ή για κάθε $x\geq 1$ .

Συνοψίζοντας οι δυνατές λύσεις (με είναι δύο:

1) $\displaystyle{f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x-1} } & {x \leq 1} \\ {x } & {x\geq 1} \\ \end{array} } \right.}$
και

2) για κάθε .

Σημείωση: H διακρίνουσα, όπως έχει τονισθεί πολλές φορές μας δίνει πιθανές τιμές και δεν λύνει το πρόβλημα...από μόνη της.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Αχιλλέα ήθελα να γράψω f(1)=1 αλλά και έτσι έπιασες το νόημα και ελπίζω να καταλαβαίνεις τώρα ότι έχει πρόβλημα η λύση με διακρίνουσα για την ολοκληρωμένη απάντηση και έτσι χρειαζόμαστε την διαδικασία της άλλης λύσης με το σταθερό πρόσημο της f(x)-x δηλαδή συμφωνείς μαζί μου...

Κώστας Μαλλιάκας · #184

sorfan έγραψε:Παρακολουθώντας κάποιος όλη τη συζήτηση για το συγκεκριμένο θέμα καταλαβαίνει το πόσο σημαντικός είναι ο χώρος του mathematica. Αυτή η ανταλλαγή απόψεων, με τις όποιες αντιπαραθέσεις, αποτελεί μοναδική προσφορά στην μαθηματική επιστήμη του τόπου μας. Δίνει τη δυνατότητα σε πολλούς συναδέλφους και μαθητές που βρίσκονται μακριά από βιβλιοθήκες, Πανεπιστήμια και χώρους μορφωσης των μεγάλων αστικών κέντρων, να επικοινωνήσουν και να συζητήσουν κάθε θέμα που άπτεται των μαθηματικών ενδιαφερόντων τους.
Όμως, μέσα από όλη αυτή τη συζήτηση προέκυψε και η απορία:
Όταν τέθηκε το ερώτημα Δ3 η δευτερη ομάδα που λύνει τα θέματα στη ΚΕΓΕ προβληματίστηκε στο σημείο αυτό;
Διακρίνουμε τις περπτώσεις:
1. Προβληματίστηκε, εντόπισε το πιθανό πρόβλημα με τους ποσοδείκτες και παρόλα αυτά αποδέχτηκε το θέμα.
2. Προβληματίστηκε αλλά αφού το σχολικό βιβλίο δεν ασχολείται ιδιαίτερα με ποσοδείκτες και τέτοιες λεπτομέρειες το αποδέχτηκε θεωρώντας ότι μία τέτοια λύση θα ληφθεί ως σωστή.
3. Δεν το είδε κανείς στην επιτροπή (Θέλω να πιστεύω ότι το ενδεχόμενο αυτό αποτελεί τον ορισμό του αδύνατου ενδεχομένου).

ΥΓ. Αν μου διέφυγε κάποια περίπτωση συμπλήρώστε την

Δεν σκέφτηκε άλλη λύση μάλλον γιατί τους κάλυψε η μία που προτείνεται μάλιστα σε αρκετά θέματα της ΕΜΕ

Κώστας Μαλλιάκας · #185

Βασίλης Καλαμάτας έγραψε:
sorfan έγραψε:Παρακολουθώντας κάποιος όλη τη συζήτηση για το συγκεκριμένο θέμα καταλαβαίνει το πόσο σημαντικός είναι ο χώρος του mathematica. Αυτή η ανταλλαγή απόψεων, με τις όποιες αντιπαραθέσεις, αποτελεί μοναδική προσφορά στην μαθηματική επιστήμη του τόπου μας. Δίνει τη δυνατότητα σε πολλούς συναδέλφους και μαθητές που βρίσκονται μακριά από βιβλιοθήκες, Πανεπιστήμια και χώρους μορφωσης των μεγάλων αστικών κέντρων, να επικοινωνήσουν και να συζητήσουν κάθε θέμα που άπτεται των μαθηματικών ενδιαφερόντων τους.
Όμως, μέσα από όλη αυτή τη συζήτηση προέκυψε και η απορία:
Όταν τέθηκε το ερώτημα Δ3 η δευτερη ομάδα που λύνει τα θέματα στη ΚΕΓΕ προβληματίστηκε στο σημείο αυτό;
Διακρίνουμε τις περπτώσεις:
1. Προβληματίστηκε, εντόπισε το πιθανό πρόβλημα με τους ποσοδείκτες και παρόλα αυτά αποδέχτηκε το θέμα.
2. Προβληματίστηκε αλλά αφού το σχολικό βιβλίο δεν ασχολείται ιδιαίτερα με ποσοδείκτες και τέτοιες λεπτομέρειες το αποδέχτηκε θεωρώντας ότι μία τέτοια λύση θα ληφθεί ως σωστή.
3. Δεν το είδε κανείς στην επιτροπή (Θέλω να πιστεύω ότι το ενδεχόμενο αυτό αποτελεί τον ορισμό του αδύνατου ενδεχομένου).

ΥΓ. Αν μου διέφυγε κάποια περίπτωση συμπλήρώστε την

Συμφωνώ με τις παρατηρήσεις του συναδέλφου και καταθέτω μια προσωπική άποψη για το Δ3.
Οι οδηγίες που δίνονται για τα Μαθηματικά της Γ' Λυκείου (σελίδα 136) αναφέρουν ότι (με μπλε γράμματα):

Εδώ, πρέπει να τονιστεί ιδιαίτερα ότι όταν ισχύει: $f^{2}(x)=g^{2}(x)$ για κάθε $x\epsilon A\subseteq R$

δε σημαίνει ότι ισχύει για κάθε $x\epsilon A$ ή για κάθε $x\epsilon A$

Κατά τη δική μου άποψη ήταν ένα ερώτημα που είχε ως κεντρική ιδέα την παραπάνω παρατήρηση και κάνει διαφορά ανάμεσα στους πολύ διαβασμένους, λεπτολόγους μαθητές που έχουν εμβαθύνει στα Μαθηματικά, με τους μαθητές που προσπερνούν τέτοιες περιπτώσεις πιο επιφανειακά και είναι λάτρεις της μεθοδολογίας, αλλά...

Ο αντίλογος βέβαια είναι ότι αν είσαι μαθητής για να το γράψεις και να το κατανοήσεις αυτό, πρέπει και κάποιος όχι μόνον να στο έχει διδάξει κατάλληλα, αλλά και να το έχεις κατανοήσει πλήρως και φυσικά αν δεν έχεις δει αυτή την παρατήρηση η ταπεινή μου άποψη είναι ότι δεν το γράφεις ποτέ, είναι αδύνατο να το σκεφθείς μόνος σου.

Αυτή είναι η μόνη μου (μικρή είναι η αλήθεια) ένσταση για το Δ3, δηλαδή ότι είναι ένα ερώτημα μαθηματικής γνώσης βέβαια, αλλά (συγχωρέστε με αν διαφωνούν κάποιοι από εσάς συνάδελφοι για τον παρακάτω χαρακτηρισμό) τεχνικής φύσης και δε διαχωρίζει αυτό το κάτι παραπάνω που έχει ένας μαθητής με έφεση στα Μαθηματικά απέναντι σε μια άγνωστη και πρωτότυπη άσκηση.

Κρίνει μόνον αν θυμάται ο υποψήφιος(εφόσον την έχει διδαχθεί διότι δεν την περιέχει το σχολικό βιβλίο), μια βασική βέβαια, διαφορά ανάμεσα στους αριθμούς και τις συναρτήσεις...

Καλό βράδυ, καλά αποτελέσματα σε όλους και καλή δύναμη στους διορθωτές!!!!
Για μια ακόμη φορά για τους μαθητές που μας παρακολουθούν, να κοιτάξουν μπροστά, διότι οι εξετάσεις δεν τελείωσαν ακόμη και ευκαιρίες υπάρχουν ακόμη!!!!

Υ.Γ. Εκπληκτική για μια ακόμη φορά η συζήτηση που έγινε για τα θέματα... Ας προτείνουμε του χρόνου να δωθούν τα θέματα εδώ στο για να αξιολογηθούν από τους συναδέλφους το βράδυ της παραμονής των εξετάσεων.. Πιστεύω ότι δεν πρόκειται να ξεφύγει τίποτα!!!

Η βασική ιδέα υπάρχει στο σχολικό βιβλίο, σελίδα 200, άσκηση 7 και μάλιστα ένα υποερώτημα ζητά τους πιθανούς τύπους της συνάρτησης

mathxl · #186

Καλημέρα.
Με μεγάλη δυσαρέσκεια βλέπω ένα σωρό μηνύματα να επαναλαμβάνονται ΄(δικαιολογημένα ή αδικαιολόγητα) έναντι της τοποθέτησης του κυρίου Αντώνη.
Νομίζω ότι κάτι τέτοιο δεν μας τιμά αφού όλοι ήδη έχουμε καταλάβει για τι πράγμα μιλάμε. Τι προσφέρει λοιπόν η ανακύκλωση;;;;Παρακαλώ τους συντονιστές μας να κλειδώσουν το θέμα. Η αξία του Κυρ Αντώνη δεν αμφισβητείται σε καμία περίπτωση ούτε και η προσφορά του!!!
Συμφωνώ με την τοποθέτηση του Θωμά περί ηλικιών.

΄΄Ενας δεύτερος λόγος για την δημοσίευση αυτή είναι και ο παρακάτω.
Θεωρώ ότι η "μέθοδος της διακρίνουσας" οδηγεί με τεράστια πιθανότητα σε λανθασμένη λύση. Τα παδιά από την γ΄γυμνασίου έχουν μάθει να λένε χ=2 ή χ=3 και όχι χ=2 κάοιες φορές χ=3 κάποιες άλλες. Παράδειγμα: η καλύτερη μαθήτρια της τάξης μου, παρόλο που ούρλιαζα να θέτουν συνάρτηση να βρίσκουν ρίζες και να μελετούν το πρόσημο, της έμεινε ο τρόπος της διακρίνουσας που ποτέ δεν δ'ίδαξα... και έκανε λάθος (απέριψε τον άλλο τύπο επειδή δεν έδινε
f(0)=3). Γενικά την μέθοδο αυτή την θεωρώ διδακτικά επικινδυνη (συχνά σε τέτοια λάθη πέφτουν και συνάδελφοι...δυστυχώς...). Αυτό μπορεί να το προσυπογράψει και ο Χρήστος Καρδάσης, ο οποίος ζήτησε την γνώμη μου για παρόμοιο θέμα. Χρήστο αν θυμάσαι είχαμε πει τότε για το κίνδυνο που κρύβει μία τέτοια αντιμετώπιση.
ΥΓ: Δεν εννοώ ότι το λάθος το έχει κάνει ο Χρήστος αρδάσης (είχαμε συζητήσει για λύση που είχε υποδείξει άλλος συνάδελφος)

Μαυροφρύδης Βασίλης

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #187

mathxl έγραψε: Θεωρώ ότι η "μέθοδος της διακρίνουσας" οδηγεί με τεράστια πιθανότητα σε λανθασμένη λύση. Τα παδιά από την γ΄γυμνασίου έχουν μάθει να λένε χ=2 ή χ=3 και όχι χ=2 κάοιες φορές χ=3 κάποιες άλλες.
Γενικά την μέθοδο αυτή την θεωρώ διδακτικά επικινδυνη (συχνά σε τέτοια λάθη πέφτουν και συνάδελφοι...δυστυχώς...). Αυτό μπορεί να το προσυπογράψει και ο Χρήστος Καρδάσης, ο οποίος ζήτησε την γνώμη μου για παρόμοιο θέμα. Χρήστο αν θυμάσαι είχαμε πει τότε για το κίνδυνο που κρύβει μία τέτοια αντιμετώπιση.

Μαυροφρύδης Βασίλης

Φυσικά θα το προσυπογράψω , άλλωστε αυτή είναι και η μεγάλη δύναμη του

. Ποτέ δε διδάσκω ως τρόπο λύσης στους μαθητές μου κάτι για το οποίο δεν είμαι απόλυτα σίγουρος ότι θα γίνει δεκτό από οποιονδήποτε διορθωτή στις εξετάσεις . Πάνω σε αυτό το σκεπτικό ξεκίνησα τη συζήτηση στο post που έχω προαναφέρει viewtopic.php?f=53&t=4939. Νομίζω ότι το θέμα το εξαντλήσαμε αλλά το σημαντικότερο είναι ότι κανένας μαθητής δεν πρόκειται να βγει ζημιωμένος από τους διορθωτές αφού όλες οι ( σωστά δικαιολογημένες ως προς τη συνέχεια και το σταθερό πρόσημο ) λύσεις θα γίνουν δεκτές .

Υ.Γ Άλλαξα το αδικημένος σε ζημιωμένος

#188

Κώστας Μαλλιάκας έγραψε: Πιθανό αντιπαράδειγμα: Ποια η συνεχής συνάρτηση f στο R για την οποία ισχύει:

$f^2 (x)-(3x-1)f(x)+2x^2 -x = 0 , \forall x \in \mathbb R , f(o)=1$

Η διαδικασία της διακρίνουσας είναι ικανή από μόνη της να βρει την συνάρτηση f;

Συγγνώμη, διόρθωσα το f(1)=1 αντί f(0)=1

Κώστα με την αλλαγή που έκανες από f(0)=1

σε

δεν βλέπω κάποιο πρόβλημα με τη διακρίνουσα. Νομίζω ότι και πάλι οι λύσεις είναι

$f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 2x-1, & x\in A \\ x, & x\in \mathbb{R}-A \end{array} \right.$ όπου Α είναι το σύνολο όλων των

για τα οποία f(x)=2x-1

.

Τί παραπάνω θα πάρουμε αν λύσουμε το πρόβλημα με οποιαδήποτε άλλη διαδικασία? Νομίζω ότι με τις συγκεκριμένες πληροφορίες (

συνεχής) δε θα πάρουμε κάτι επιπλέον όποια οδό κι αν ακολουθήσουμε παρά μόνο μερικές ιδιότητες του συνόλου

. Αυτό ακριβώς υποστηρίζει και ο Αχιλλέας λέγοντας:

achilleas έγραψε:
Σημείωση: H διακρίνουσα, όπως έχει τονισθεί πολλές φορές μας δίνει πιθανές τιμές και δεν λύνει το πρόβλημα...από μόνη της.

και ΟΧΙ ότι δεν μπορεί να εφαρμοστεί ο τύπος της δευτεροβάθμιας αν τη χειριστεί κάποιος με ορθό τρόπο. Άρα γιατί η παραπάνω αποτελεί αντιπαράδειγμα?

Αλέξανδρος

Κώστας Μαλλιάκας · #189

cretanman έγραψε:
Κώστας Μαλλιάκας έγραψε: Πιθανό αντιπαράδειγμα: Ποια η συνεχής συνάρτηση f στο R για την οποία ισχύει:

$f^2 (x)-(3x-1)f(x)+2x^2 -x = 0 , \forall x \in \mathbb R , f(o)=1$

Η διαδικασία της διακρίνουσας είναι ικανή από μόνη της να βρει την συνάρτηση f;

Συγγνώμη, διόρθωσα το f(1)=1 αντί f(0)=1
Κώστα με την αλλαγή που έκανες από σε δεν βλέπω κάποιο πρόβλημα με τη διακρίνουσα. Νομίζω ότι και πάλι οι λύσεις είναι

$f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 2x-1, & x\in A \\ x, & x\in \mathbb{R}-A \end{array} \right.$ όπου Α είναι το σύνολο όλων των για τα οποία .

Τί παραπάνω θα πάρουμε αν λύσουμε το πρόβλημα με οποιαδήποτε άλλη διαδικασία? Νομίζω ότι με τις συγκεκριμένες πληροφορίες ( συνεχής) δε θα πάρουμε κάτι επιπλέον όποια οδό κι αν ακολουθήσουμε παρά μόνο μερικές ιδιότητες του συνόλου . Αυτό ακριβώς υποστηρίζει και ο Αχιλλέας λέγοντας:

achilleas έγραψε:
Σημείωση: H διακρίνουσα, όπως έχει τονισθεί πολλές φορές μας δίνει πιθανές τιμές και δεν λύνει το πρόβλημα...από μόνη της.
και ΟΧΙ ότι δεν μπορεί να εφαρμοστεί ο τύπος της δευτεροβάθμιας αν τη χειριστεί κάποιος με ορθό τρόπο. Άρα γιατί η παραπάνω αποτελεί αντιπαράδειγμα?

Αλέξανδρος

Αντιπαράδειγμα εννοώ ότι δεν δίνει από μόνη της όλες τις λύσεις.
Ελπίζω ότι όλοι καταλάβαμε και συμφωνούμε ότι:
1.Το θέμα πρέπει να κλείσει
2.Να μην ανησυχούν τα παιδιά που έγραψαν αυτή την λύση
3.Οι βαθμολογητές να μην κόψουν κανένα μόριο για αυτή την λύση αφού δεν διδάσκεται η Μαθηματική Λογική σε βάθος
4.Οι Μαθηματικοί να προσέχουμε τι λέμε και πώς το λέμε, πώς αιτιολογούμε και πώς συζητάμε μεταξύ μας
Ευχαριστώ

#190

Κώστας Μαλλιάκας έγραψε: Αντιπαράδειγμα εννοώ ότι δεν δίνει από μόνη της όλες τις λύσεις.

Κώστα με ποιο άλλο τρόπο παίρνουμε όλες τις λύσεις; Νομίζω με κανένα!

Αλέξανδρος

#191

mathxl έγραψε:....................................
΄΄Ενας δεύτερος λόγος για την δημοσίευση αυτή είναι και ο παρακάτω.
Θεωρώ ότι η "μέθοδος της διακρίνουσας" οδηγεί με τεράστια πιθανότητα σε λανθασμένη λύση. ..................

Το σημείο που θίγει ο Βασίλης εδώ είναι το σημαντικότερο για μας που διδάσκουμε αυτό το μάθημα.

Είχα προσέξει από παλιά ότι οι μαθητές αρέσκονται στο να βρίσκουν ''νέες μεθόδους '', πιο σύντομες από αυτές των καθηγητών τους και αυτό από μόνο του είναι πολύ καλό. Μερικές όμως φορές ανακαλύπτουν λάθος ή ελειπή πράγματα. Ένα τέτοιο πράγμα είναι να λύνουν αυτές τις συναρτησιακές εξισώσεις με διακρίνουσα.Όχι γιατί μια τέτοια λύση είναι λάθος,αν ολοκληρωθεί σωστά , αλλά διότι οι μαθητές αδυνατούν να συνεχίσουν τη λύση αυτή μέχρι το τέλος , μια και δεν μπορούν να γνωρίζουν σε βάθος τον τεράστιο ρόλο που παίζει ο ποσοδείκτης ''για κάθε ''. Το είχα συναντήσει σε διαγωνίσματα την περίοδο των δεσμών, όταν έβαζα παρόμοιες ασκήσεις και οι μαθητές έγραφαν αυτή τη λύση, χωρίς την απαραίτητη συνέχιση και αιτιολόγηση, όπως σωστά έκανε σωστά στην παραπανω λύση ο Αλέξανδρος.

Από τότε λοιπόν είχα αποφασίσει να ξεκαθαρίσω το θέμα για τους μαθητές , στα επόμενα χρόνια, κάνοντας προσπάθεια να βρω την πιο διδακτική και ανώδυνη ίσως πορεία αντιμετώπισης τέτοιων θεμάτων που θα ελαχιστοποιεί την πιθανότητα για λανθασμένες ή ελλειπείς λύσεις, χωρίς φυσικά αυτό να σημαίνει ότι και οι άλλοι τρόποι δεν χρήσιμοι ή αποτεσματικοί.Για το λόγο αυτό στο πρώτο μου βιβλίο ΑΝΑΛΥΣΗ 1, Ασκήσεις και Θέματα , που εκδόθηκε το 1996 και στη σελίδα 232, άσκηση 9.17 έφτιαξα και έβαλα λυμένη την άσκηση αυτή :

'' Να βρεθούν οι συνεχείς συναρτήσεις με πεδίο ορισμού το IR και έχουν την ιδιότητα f^2(x) = 2xf(x)+1

για κάθε χ''.

Είναι φανερό ότι η λύση έγινε με συμπλήρωση τετραγώνων για δύο λόγους :

α) Για να φανεί σε πιο ακριβώς σημείο της λύσης χρειάζεται η συνέχεια, και μάλιστα αυτή η προϋπόθεση -της συνέχειας δηλαδή- να χρησιμοποιηθεί πριν την εύρεση των πιθανών λύσεων.

β) Για να μην γίνει καθόλου αναφορά σε δευτεροβάθμια εξίσωση , κάτι που θα αποτυπώνονταν έντονα στη μνήμη του μαθητή και με βεβαιότητα θα τον οδηγούσε σε λάθος συμπεράσματα σε αντίστοιχο θέμα. Όχι βέβαια γιατί φταίει ο τρόπος αυτός καθεαυτός ,μια χαρά είναι , αλλά διότι ο μαθητής δεν θα μπορέσει να βρει τα επόμενα βήματα για να βγάλει σίγουρα συμπεράσματα. Με άλλα λόγια, ο μαθητής θα παραβλέψει τον ποσοδείκτη που είναι το πιο κρίσιμο σημείο που χαρακτηρίζει αυτές τις ασκήσεις και θα έχει κανει ένα λογικό και μαθηματικό λάθος που δεν θα μπορεί να εντοπίσει , όσο και να κοιτάζει τη λύση του.

Ο ίδιος τρόπος έχει προτιμηθεί και στα νεότερα πονήματα του γράφοντος και το γνωρίσετε καλά, καλύτερα από μένα που ξεχνάω και καμιά φορά

.Μπορείτε επίσης να δείτε τη σχετική άσκηση 6.7 στη σελίδα 52 και τα σχόλια που προηγούνται αυτής στη διεύθυνση http://www.mathjazz.gr/mathimatika/math ... _index.htm , όπου ο φίλος και εξαιρετικός συνάδελφος Θωμάς Ραϊκόφτσαλης φιλοξενεί το ηλεκτρονικό μας βιβλίο ''Η Επαναληψη στη Γ΄Λυκείου'' , που είναι αφιερωμένο στα μέλη του mathematica.

Όπως λοιπόν γίνεται φανερό, η συμπλήρωση των τετραγώνων ή και άλλων άρτιων δυνάμεων είναι η πιο ενδεδειγμένη αντιμετώπιση και έχει μακρόχρονη ιστορία, διατυπωμένη επώνυμα. Αυτή τη μέθοδο ακολούθησαν και άλλοι συνάδελφοι στη διδασκαλία τους ή στα έργα που εξέδωσαν.Αυτό δεν σημαίνει όμως με κανένα τρόπο ότι είναι η μοναδική ή ότι και οι άλλοι τρόποι, αν συμπληρωθούν με τα κατάλληλα επιχειρήματα δεν οδηγούν στην ορθή εύρεση των ζητούμενων συναρτήσεων ή ότι δεν είναι το ίδιο ασφαλείς στα χέρια έμπειρων ή προσεκτικών μαθητών.

Μπάμπης

#192

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ έγραψε:
mathxl έγραψε: Θεωρώ ότι η "μέθοδος της διακρίνουσας" οδηγεί με τεράστια πιθανότητα σε λανθασμένη λύση. Τα παδιά από την γ΄γυμνασίου έχουν μάθει να λένε χ=2 ή χ=3 και όχι χ=2 κάοιες φορές χ=3 κάποιες άλλες.
Γενικά την μέθοδο αυτή την θεωρώ διδακτικά επικινδυνη (συχνά σε τέτοια λάθη πέφτουν και συνάδελφοι...δυστυχώς...). Αυτό μπορεί να το προσυπογράψει και ο Χρήστος Καρδάσης, ο οποίος ζήτησε την γνώμη μου για παρόμοιο θέμα. Χρήστο αν θυμάσαι είχαμε πει τότε για το κίνδυνο που κρύβει μία τέτοια αντιμετώπιση.

Μαυροφρύδης Βασίλης
Φυσικά θα το προσυπογράψω , άλλωστε αυτή είναι και η μεγάλη δύναμη του . Ποτέ δε διδάσκω ως τρόπο λύσης στους μαθητές μου κάτι για το οποίο δεν είμαι απόλυτα σίγουρος ότι θα γίνει δεκτό από οποιονδήποτε διορθωτή στις εξετάσεις . Πάνω σε αυτό το σκεπτικό ξεκίνησα τη συζήτηση στο post που έχω προαναφέρει viewtopic.php?f=53&t=4939. Νομίζω ότι το θέμα το εξαντλήσαμε αλλά το σημαντικότερο είναι ότι κανένας μαθητής δεν πρόκειται να βγει ζημιωμένος από τους διορθωτές αφού όλες οι ( σωστά δικαιολογημένες ως προς τη συνέχεια και το σταθερό πρόσημο ) λύσεις θα γίνουν δεκτές .

Υ.Γ Άλλαξα το αδικημένος σε ζημιωμένος

Δεν είχα σκοπό να γράψω άλλο μήνυμα, διότι πράγματι έχει κουράσει, αλλά το παραπάνω μήνυμα συμφωνεί με όσα μου μεταφέρθηκαν και σε τηλεφωνική επικοινωνία με συνάδελφο από επαρχία.

Μου επισημάνθηκε αυτή η επικινδυνότητα στη διδασκαλία της "μεθόδου" και η προτίμηση στην "ασφαλέστερη" λύση της συμπλήρωσης τετραγώνου κ.τ.λ.. Της επεσήμανα την ισοδυναμία των δυο τρόπων.

Το ερώτημα πως θα το διδάξεις στα παιδιά, όταν δεν γνωρίζουν λογική, ποσοδείκτες κ.τ.λ., κ.τ.λ. είναι πράγματι σημαντικό και καταλαβαίνω τη δυσκολία. Επίσης, καταλαβαίνω την προτίμηση στον έναν τρόπο από τον άλλον (χωρίς να ασπάζομαι την άποψη ότι είναι ασφαλέστερος).

Ίσως δεν δίνονται τα απαραίτητα εφόδια (βλ. , π.χ. σχολικά βιβλία με στοιχεία λογικής) ή ο απαραίτητος χρόνος να διδαχθούν όλα. Πιθανόν...δεν ξέρω.

Δεν ευθύνεται η "μέθοδος", όμως. Παρόμοιες δυσκολίες ανακύπτουν και με άλλους τρόπους.
Είναι άλλο η σωστή χρήση της όπως έγινε σε προηγούμενα μηνύματα κι άλλο ο εξοστρακισμός κι ο αφορισμός της.

Προσθήκη: Η επίλυση τέτοιων προβλημάτων είναι μια διαδρομή από τη Δεδομενούπολη (την πόλη των δεδομένων) στην Τυπούπολη (την πόλη των τύπων της συνάρτησης).

Οπωσδήποτε, πρέπει να περάσουμε από την Πιθανούπολη (την πόλη των πιθανών τιμών). Από Πιθανούπολη σε Τυπούπολη μας επιτρέπεται να πάμε μόνο αν περάσουμε τα διόδια της Ποσοδεικτούπολης (ή Λογικούπολης).

Στην Πιθανούπολη, όμως, μπορούμε να πάμε και μέσω της Διακρινουσόπολης (σύντομος δρόμος) ή της Συμπληρωσούπολης (μακρύτερος δρόμος, αλλά ενδεχομένως πιο ασφαλής).

Φιλικά,

Αχιλλέας

chris · #193

alkinoos έγραψε:
smar έγραψε:
Θα μου πείτε και τότε γιατί γίνεται τόσος λόγος ; Μα γιατί κάποιοι έχουν μάθει μόνο να διορθώνουν και όχι να διορθώνονται. Το αλάθητο είναι δικό τους και του πάπα και όταν φυσικά εκτίθενται σε ένα τόσο πολυσύχναστο τόπικ που το παρακολουθούν μαθητές, φοιτητές, καθηγητές κτλ κτλ και έχουν φωνάξει κιόλας με bold γράμματα (είναι η τρίτη φορά που το επισημαίνω αυτό και μάλλον θα πρέπει να καταργηθούν τα μεγαλύτερα γράμματα), πώς να πούνε μετα ότι κάναν λάθος ;
Σιλουανός
Υ.Γ Θα ζητούσα από τους συντονιστές να μην διαγράψουν κάτι από τα παραπάνω. Θεωρώ ότι δεν προσβάλλω κανέναν και απλά κάνω κάποιες διαπιστώσεις που είναι εμφανείς (μιλάω για την τελευταία παράγραφο) και απλά δεν θέλω να κρυβόμαστε πίσω από το δάχτυλό μας.
Smar, αν αυτά τα γράφεις για τον κ. Κυριακόπουλο, θα σου έλεγα περισσότερο σεβασμό στους ανθρώπους που, κατά κοινή ομολογία, είτε το παραδέχεσαι είτε όχι, μας έχουν μάθει πολλά πράγματα στα μαθηματικά. Εξάλλου, δεν υπάρχει κάποιο λάθος σε αυτά που γράφει για το θέμα Δ3 και θα σου συνιστούσα να τα μελετήσεις περισσότερο. Πέρα όμως από αυτά, δεν μπορώ να καταλάβω από πού αντλείς αυτή την έπαρση και τον εγωισμό. Επειδή έχεις πάρει κάποιο μετάλλιο στις Ολυμπιάδες; Αυτό από μόνο του δεν αποδεικνύει τίποτα. Πάρε πρώτα το πτυχίο σου και μετά βλέπουμε.
Υ.Γ. Θα ζητούσα από τους συντονιστές να μην διαγράψουν κάτι από τα παραπάνω. Θεωρώ ότι δεν προσβάλλω κανέναν και απλά κάνω κάποιες διαπιστώσεις που είναι εμφανείς και απλά δεν θέλω να κρυβόμαστε πίσω από το δάχτυλό μας( με το ίδιο σκεπτικό δεν διαγράψατε αυτά που έγραψε ο smar)

Αγαπητέ Alkinoe,
Νομίζω οτι δεν υπάρχει λόγος να γίνεται αυτή η φραστική επίθεση στο Σιλουανό.Θα συμφωνήσω μαζί σας οτι ίσως ξέφυγε λίγο απο το πνεύμα της συζήτησης που στόχο έχει την γόνιμη ανταλλαγή απόψεων πάνω στα μαθηματικά και επίσης θα συμφωνήσω οτι η όποια υπόννοια προς τον κ.Κυριακόπουλο είναι κατακριτέα αφού είναι αδιαμφισβήτητη η προσφορά του στα Μαθηματικά και στο

γενικότερα.Όμως δε νομίζω οτι η αξία του Σιλουανού την οποία έχει αποδείξει επανειλημμένα θα πρέπει να υποτιμάται και να αμφισβητήται.Αν σκοπός σας ήταν να τον συνετήσετε τότε πράξατε σωστά αλλά με λάθος τρόπο.Πιστεύετε οτι οι αντιδικίες μπορούν να μας οδηγήσουν κάπουν ή μήπως θεωρείτε σημαντικό το οτι ο Σιλουανός δεν έχει πάρει ακόμα το πτυχίο του?Δηλαδή σημασία έχει αν θα το πάρει σήμερα ή αύριο και όχι ο αντικειμενικός στόχος(δηλ. ο δρόμος για την απόκτησή του...γιατί δε νομιζω να τίθεται θέμα για το αν θα πάρει το πτυχίο).Με λίγα λόγια δεν επιδοκιμάζω το Σιλουανό για τη στάση του αλλά ούτε πιστεύω οτι θα οδηγήσει κάπου μία λεκτική αντιπαράθεση.
Φιλικά πάντα,
Χρήστος

SoulGR · #194

καλησπερα σας,
στις πανελλήνιες δεν θυμομουν τον ορισμο για την κατακόρυφη ασυμπτωτη που ειχε το βιβλίο και έγραψα αυτό

λεμε οτι μια συναρτηση f τεινει ασυμπτωτικα σε μια ευθευα της μορφης χ= χο οταν |χ-χο| τεινει στο μηδεν αλλα δεν παιρνει την τιμη αυτη για κανενα χ ε D f

μπορει να θεωρηθει σωστο?

Ιστοσελίδα · #195

SoulGR έγραψε:καλησπερα σας,
στις πανελλήνιες δεν θυμομουν τον ορισμο για την κατακόρυφη ασυμπτωτη που ειχε το βιβλίο και έγραψα αυτό

λεμε οτι μια συναρτηση f τεινει ασυμπτωτικα σε μια ευθευα της μορφης χ= χο οταν |χ-χο| τεινει στο μηδεν αλλα δεν παιρνει την τιμη αυτη για κανενα χ ε D f

μπορει να θεωρηθει σωστο?

Δύσκολο το βλέπω διότι ξεφεύγει από τον ορισμό του βιβλίου και είναι ορισμός όχι κάποια άσκηση. Επίσης λείπει το πότε τείνει στο μηδέν και σίγουρα αυτό που τείνει στο μηδέν δεν είναι το χ-χο.

#196

Γειά σας
Για το θέμα Γ2 με απασχόλησε αρκετά τι δυνατότητες είχε να το λύσει ένας μαθητής που δεν σκεφτόταν να το συνδέσει με την συνάρτηση

. Αυτό διότι ως γνωστόν είναι σημαντικό να καταγραφούν και να εκτεθούν όσο γίνεται πιο πολλά σενάρια λύσης ενός θέματος πριν την βαθμολόγηση του. Οι λόγοι είναι πολλοί και δεν είναι της ώρας να τους αναφέρω.
Υπενθυμίζω ότι το συγκεκριμένο υποερώτημα ζητούσε να λυθεί η εξίσωση
$\displaystyle{2\left( x^{2}-3x+2\right) =\ln \left[ \frac{\left( 3x-2\right) ^{2}+1}{x^{4}+1}\right]}$
H εξίσωση έχει δύο προφανείς λύσεις: τις 1 και 2. Έχει όμως άλλες;
Δύο συνηθισμένες πορείες αντιμετώπισης είναι να μεταφερθούν όλα στο α΄μέλος, να ορισθεί η συνάρτηση
$\displaystyle{g\left( x\right) =2\left( x^{2}-3x+2\right) -\ln \left[ \frac{\left( 3x-2\right) ^{2}+1}{x^{4}+1}\right]}$
και
α) Να μελετηθεί η

ή
β) Να να ανιχνευθεί το πλήθος των ριζών της

: Αν έχει μια ρίζα οι δύο προφανείς ρίζες της εξίσωσης που βρήκαμε είναι μοναδικές. Δεν υπάρχουν άλλες.
Ωστόσο αυτές οι δύο πορείες είναι μάλλον απαγορευτικές αφού
$\displaystyle{g^{\prime }\left( x\right) =\allowbreak 2\frac{18x^{7}-51x^{6}+55x^{5}+28x^{3}-51x^{2}+37x-33x^{4}-9}{\left( x^{4}+1\right) \left( 9x^{2}-12x+5\right) }$
Μία απ΄ευθείας λύση δεν μπορεί να πάρει την

"τοις μετρητοίς" αλλά πρέπει με κάποιο τρόπο να "χαμηλώσει" τους βαθμούς των πολυωνύμων που εμφανίζονται.
____________________________________________________________________________________________________
Μια ιδέα αυτοτελούς λύσης του Γ2 είναι η ακόλουθη:
Η αρχική εξίσωση γράφεται:
$\displaystyle{2\left( \overset{a}{\overbrace{x^{2}}}-\overset{b}{\overbrace{\left( 3x-2\right) }}\right) =\ln \left[ \frac{\overset{b^{2}}{\overbrace{\left( 3x-2\right) ^{2}}}+1}{\underset{a^{2}}{\underbrace{x^{4}}}+1}\right] }$
Δηλαδή
$2\left( a-b\right) =\ln \left( \frac{b^{2}+1}{a^{2}+1}\right)$ (*)
Θα δείξουμε ότι η σχέση (*) ισχύει μόνο όταν a=b

. 'Εστω $h\left( x\right) =\ln \left( \frac{x^{2}+1}{a^{2}+1}\right) -2\left( a-x\right)$ . Τότε $h^{\prime }\left( x\right) =\allowbreak 2\frac{x^{2}+x+1}{x^{2}+1}$ . 'Αρα η

είναι γνησίως αύξουσα και επομένως 1-1. Άρα η εξίσωση h(x)=0

έχει μοναδική λύση x=a

. Aυτό σημαίνει ότι η (*) ισχύει μόνο όταν a=b

δηλαδή όταν $x^{2}=3x-2$ δηλαδή x=1

ή

.
Μαυρογιάννης

#197

Γ2 χωρίς παραγώγους:

Ας παρατηρήσουμε κατ' αρχήν ότι η δυσκολία έγκειται στην απόδειξη μη ύπαρξης άλλων κοινών ριζών στο $(0,\,\frac{2}{3})$ . Πράγματι για $x\leq0$ το αριστερό σκέλος της $2(x^{2}-3x+2)=ln[\frac{(3x-2)^{2}+1}{x^{4}+1}]$ είναι $\geq4$ ενώ προφανώς $\frac{(3x-2)^{2}+1}{x^{4}+1}<e^{4}$ . Και για $x\geq\frac{2}{3}$ ισχύει η $\frac{(3x-2)^{2}+1}{x^{4}+1}<1\Longleftrightarrow x^{2}-3x+2>0$ : όταν δηλαδή το δεξί σκέλος της $2(x^{2}-3x+2)=ln[\frac{(3x-2)^{2}+1}{x^{4}+1}]$ είναι θετικό το αριστερό σκέλος είναι αρνητικό ( 1<x<2

) και αντίστροφα ( $\frac{2}{3}\leq x<1$ και x>2

).

Για $\frac{1}{3}<x<\frac{2}{3}$ ισχύει η $2(x^{2}-3x+2)>\frac{8}{9}$ , άρα αρκεί να δείξουμε ότι $\frac{(3x-2)^{2}+1}{x^{4}+1}<2<e^{\frac{8}{9}}$ . Παρατηρούμε ότι $\frac{(3x-2)^{2}+1}{x^{4}+1}<2\Longleftrightarrow3(3x-1)(x-1)<2x^{4}$ , κάτι που βεβαίως ισχύει για $\frac{1}{3}<x<\frac{2}{3}$ λόγω αρνητικότητας του αριστερού σκέλους.

Για $0<x\leq\frac{1}{3}$ ισχύει η $2(x^{2}-3x+2)\geq\frac{20}{9}$ , άρα αρκεί να δείξουμε ότι $\frac{(3x-2)^{2}+1}{x^{4}+1}<7<e^{\frac{20}{9}}$ . Παρατηρούμε ότι $\frac{(3x-2)^{2}+1}{x^{4}+1}<7\Longleftrightarrow9x^{2}<7x^{4}+12x+2$ , κάτι που ισχύει για $0<x\leq\frac{1}{3}$ λόγω $9x^{2}<12x^{2}<12x$ .

Γιώργος Μπαλόγλου

Α.Κυριακόπουλος · #198

mathxl έγραψε:Καλημέρα.
Με μεγάλη δυσαρέσκεια βλέπω ένα σωρό μηνύματα να επαναλαμβάνονται ΄(δικαιολογημένα ή αδικαιολόγητα) έναντι της τοποθέτησης του κυρίου Αντώνη.
Νομίζω ότι κάτι τέτοιο δεν μας τιμά αφού όλοι ήδη έχουμε καταλάβει για τι πράγμα μιλάμε. Τι προσφέρει λοιπόν η ανακύκλωση;;;; Παρακαλώ τους συντονιστές μας να κλειδώσουν το θέμα. Η αξία του Κυρ Αντώνη δεν αμφισβητείται σε καμία περίπτωση ούτε και η προσφορά του!!!

Αγαπητέ Βασίλη.
Το μήνυμά μου αυτό δεν έχει σκοπό να υπερασπιστεί την αξία μου. Η όποια αξία του καθενός μας δεν μειώνεται με κακοήθειες. Εκείνο που θέλω να καταλάβω είναι γιατί η τοποθέτησή μου στο θέμα Δ3 προκάλεσε τέτοιες αντιδράσεις. Όπως έλεγα και στον Αχιλλέα:
•Δεν είναι αλήθεια ότι ο τύπος της δευτεροβάθμιας εξίσωσης έχει αποδειχθεί και (επομένως για τους μαθητές) ισχύει μόνο όταν οι συντελεστές α, β και γ ( $\displaystyle{\alpha \ne 0}$ ) είναι δοσμένοι πραγματικοί αριθμοί, ανεξάρτητοι του x; Παραδέχομαι ότι ο τίτλος του μηνύματός μου μπορούσε να παρεξηγηθεί, σχετικά με αυτά που έγραφε ο Αλέξανδρος. Αλλά εκείνο που ήθελα να τονίσω είναι να μην περιμένουμε από τους μαθητές να εφαρμόζουν τύπους που δεν έχουν διδαχθεί. Και τούτο, μόνο και μόνο για να μη νιώθουν άσχημα οι μαθητές που σκέφτηκαν να εφαρμόσουν το τύπο της δευτεροβάθμιας εξίσωσης, αλλά δεν το έκαναν σκέπτομαι ότι δεν έχει αποδειχθεί. Πάντως αν ήμουν βαθμολογητής δεν θα το έπαιρνα λάθος . Αυτά όμως είναι η επιφάνεια. Η ουσία είναι αυτό που γράφω παρακάτω:
Αν στις σχέσεις υπάρχουν ποσοδείκτες και δεν τους γράφουμε και ούτε τους υπονοούμε, τότε μόνο κατά σύμπτωση δεν θα φθάσουμε σε λανθασμένο συμπέρασμα. Και στη σχέση που καταλήγαμε στο θέμα Δ3 υπήρχε ο ποσοδείκτης
« Για κάθε». Έτσι, αν ένας επιμέριζε το « Για κάθε» στις δύο εκφράσεις του f(x), ανεξάρτητα πώς τους βρήκε, θα έκανε μεγάλο λάθος έστω και αν στη συνέχεια απέρριπτε τη μια περίπτωση. Δυστυχώς, μερικοί συνάδελφοι στάθηκαν στην επιφάνεια και χωρίς να έχουν καταλάβει τι θέλω να πω με αυτά που έγραψα, βρήκαν την ευκαιρία να βγάλουν τα απωθημένα τους.
Αναρωτιέμαι λοιπόν που είναι το λάθος που έχω κάνει ( όχι ότι δεν κάνω λάθη, αλλά εννοώ στη συγκεκριμένη περίπτωση).
Αγαπητέ Βασίλη.
Ειλικρινά πιστεύω ότι την μόνη επανόρθωση που θα έπρεπε να κάνω, είναι να ζητήσω συγνώμη από τον Αλέξανδρο, αν φάνηκε ότι με το μήνυμά μου αυτό τον προσέβαλα. Το έχω κάνει ήδη στην απάντησή μου προς τον Αχιλλέα και το επαναλαμβάνω και εδώ. Τον Αλέξανδρο τον αγαπώ, τον εκτιμώ και τον θαυμάζω για την σοβαρότητά του, για το ήθος του και για τις γνώσεις του. Κατά τη γνώμη μου είναι σπουδαίος μαθηματικός.
Με εκτίμηση και αγάπη.

Ραϊκόφτσαλης Θωμάς · #199

Καλημέρα,
θα ήθελα να πω δυο φράσεις του Νιτσε, ιδιαίτερα απαυθυνόμενος στους νεότερους σε ηλικία φίλους μας.

Η πρώτη

Σπάνια κάνει κανείς μόνο ένα σφάλμα.
Στο πρώτο σφάλμα κάνει κανείς πάρα πολλά.
Για το λόγο αυτό κάνει συνήθως και ένα δεύτερο - κάνοντας αυτή τη φορά πολύ λίγα.

Η δεύτερη

Τι;
Ψάχνεις;
Θέλεις να πολλαπλασιαστείς, επί 10 επί 100;
Ψάχνεις για οπαδούς;
Ψάξε για μηδενικά.

Σε σχέση με τη δεύτερη ρήση, Ο Αντώνης ο Κυριακόπουλος, ο Αντώνης μας, το μόνο που δεν ψάχνει είναι για οπαδούς.

Και έχει τα κότσια για να μην πω τίποτα άλλο, που τηρεί ακέραια και τη πρώτη ρήση.
Αντώνη έχεις την αγάπη μου και τον θαυμασμό μου για τα κότσια σου και το ακέραιο του χαρακτήρα σου.

Θωμάς Ραϊκόφτσαλης

Υ.Γ
Περιμένω από τον νεότερο Σιλουανό να περάσει δημόσια και στο δεύτερο μέρος της πρώτης φράσης.

mathxl · #200

Καλημέρα.
Κύριε Αντώνη καταλαβαίνω τι εννοείς ως προς το μέρος με τα "απωθήμένα". Έτσι εξηγείται το πρώτο μέρος του μηνύματος μου. Προσωπικά δεν θα ήθελα να μείνουμε σε αυτό και να του δώσουμε παραπάνω έκταση απόσο του αξίζει.
Εκτιμώ όλους τους συναδέλφους που μετείχαν στην όλη συζήτηση (Αχιλλέα, Αλέξανδρο, Σιλουανό, Νίκο κ.α.) τους οποίους και θεωρώ πολύ καλούς μαθηματικούς.

Πάμε λίγο στο ζήτημα της βαθμολόγησης που το θεωρώ σημαντικό.
Η άσκηση στο Δ3 πατάει στην σχολική 7 σελίδα 200. Δεν ξέρω αν όλοι οι συνάδελφοι την διδάσκουν κα πόσοι από αυτούς που την διδάσκουν αναφέρονται στην διαφορά της μίας λύσης με την άλλη (της διακρίνουσας). Φέτος δέχτηκα την απορία εάν η λύση με διακρίνουσα είναι σωστή ή λανθασμένη από την ίδια μαθήτρια που έκανε λάθος. Της είχα πει να εξηγήσει την λύση της και έκανε το κλασικό λάθος. Είχε θεωρήσει λοιπόν ότι οι τύποι λύσεων ισχύουν για κάθε χ. Εξήγησα στην τάξη που βρίσκεται το λάθος (γινόμενο συναρτήσεων 0 τους έδωσα και αντιπαραδείγματα με συναρτήσεις πολλαπλού τύπου, τους το έδειξα και γραφικά και αναδείχθηκε ο ρόλος της συνέχειας) και τους είπα να μην λύνουν ποτέ με τέτοιο τρόπο (διακρίνουσα) τέτοιου είδους ασκήσεις...
Επειδή σίγουρα δεν είμαι ο μοναδικός που έχει κάνει κάτι τέτοιο (μιλάμε για σχολική άσκηση...) και επειδή πρέπει να είμαστε δίκαιοι και να σεβόμαστε το κόπο του άριστου μαθητή ( κόπος που πρέπει να ανταμοίβεται με 4-5 μόρια παραπάνω από τον πολύ καλό - κατά την γνώμη μου) οποιαδήποτε λύση χωρίς δικαιολόγηση της μοναδικότητας της λύσης πρέπει να έχει και απώλεια μορίων (δεν είναι δικαιολογία οι ποσοδείκτες).
Γενικά τα θέματα στην κατεύθυνση μου άρεσαν. Τα θέματα στην γενική παιδεία είναι καλά με εξαίρεση το άθλιο Α θέμα (απόδειξη - ερωτήσεις θεωρία)
Εν ολίγοις, το Α θέμα πρέπει να σέβεται τον αδύνατο μαθητή και το Δ τον άριστο

ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

απορία

Re: απορία

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Re: ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (Ημερ) 2010

Μέλη σε σύνδεση