Δυναμοσειρά (n! / n^n) x^n

#1

Να βρεθεί το σύνολο σύγκλισης της δυναμοσειράς $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{n!}{n^n}\,x^n$

papel · #2

Κριτηριο συγκλισης :
$\displaystyle{\lim \frac{{\frac{{\left( {n + 1} \right)! \cdot {x^{n + 1}}}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^{n + 1}}}}}}{{\frac{{n! \cdot {x^n}}}{{{n^n}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{x}{{{{\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)}^n}}}} \right) = \left| {\frac{x}{e}} \right|}$

Eαν $\displaystyle{\left| {\frac{x}{e}} \right| < 1}$ τοτε συνολο συγκλισης (-e,e).

#3

papel έγραψε:...Eαν $\displaystyle{\left| {\frac{x}{e}} \right| < 1}$ τοτε συνολο συγκλισης (-e,e).

...άν $x=\pm{e}$ ;

papel · #4

Μα Γρηγορη ειναι προφανες για χ=e παιρνω την σειρα :

$\displaystyle{\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{n!}}{{{n^n}}} \cdot } {e^n}}$ και επειδη

$\displaystyle{\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}} > 1}$ απο το κριτηριο D'Alembert αυτη αποκλινει.

Για x=-e παιρνω την σειρα :

$\displaystyle{\sum\limits_{n = 1}^\infty {{{\left( { - 1} \right)}^n} \cdot \frac{{n!}}{{{n^n}}} \cdot } {e^n}}$

η οποια αποκλινει. Η $\displaystyle{{a_{2n}}}$ ειναι αυξουσα γνησια υπακολουθια θετικων ορων.

Ελπιζω να σε καλυψα φιλτατε Γρηγορη.

#5

papel έγραψε:Μα Γρηγορη ειναι προφανες για χ=e παιρνω την σειρα :

$\displaystyle{\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{n!}}{{{n^n}}} \cdot } {e^n}}$ και επειδη

$\displaystyle{\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}} > 1}$ απο το κριτηριο D'Alembert αυτη αποκλινει.

Για x=-e παιρνω την σειρα :

$\displaystyle{\sum\limits_{n = 1}^\infty {{{\left( { - 1} \right)}^n} \cdot \frac{{n!}}{{{n^n}}} \cdot } {e^n}}$

η οποια αποκλινει. Η $\displaystyle{{a_{2n}}}$ ειναι αυξουσα γνησια υπακολουθια θετικων ορων.

Ελπιζω να σε καλυψα φιλτατε Γρηγορη.

Δέν πρόκειται περί κάλυψης (ή αλληλοκάλυψης), φίλτατε papel, αλλά περί ελεύθερης επικοινωνίας γύρω από τά μαθηματικά!
Η επίλυση πού έχω, άν καί δέν είναι δυνατόν -από τήν φύση τού προβλήματος- νά διαφέρει πολύ, διαφοροποιείται από τήν δική σου επίλυση, όσον αφορά τά άκρα $x=\pm{e}$ .

Έτσι:
Γιά κάθε $n\in\mathbb{N}$ ισχύει $\displaystyle{e}\left({\frac{n}{e}}\right)^n \leq n! \leq e\left(\frac{n+1}e\right)^{n+1}$ (1).

Γιά x=-e

, προκύπτει η σειρά $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{n!}{n^n}\,({-e})^n=\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}({-1})^n\,n!\left({\frac{e}{n}}\right)^n$ .

Οί ακολουθίες $\Theta_{n}:=\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{k=1}^{n}({2k})!\left({\frac{e}{2k}}\right)^{2k}\stackrel{(1)}{\geq}e\mathop{\sum}\limits_{k=1}^{n}\left({\frac{2k}{e}}\right)^{2k}\left({\frac{e}{2k}}\right)^{2k}=e\,n$ , $n\in\mathbb{N}$ ,

$A_{n}:=\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{k=1}^{n}({2k-1})!\left({\frac{e}{2k-1}}\right)^{2k-1}\stackrel{(1)}{\geq}e\mathop{\sum}\limits_{k=1}^{n}\left({\frac{2k-1}{e}}\right)^{2k-1}\left({\frac{e}{2k-1}}\right)^{2k-1}=$

$e\,n$ , $n\in\mathbb{N}$ , τών μερικών αθροισμάτων τών θετικών όρων καί τών απολύτων τιμών τών αρνητικών όρων τής σειράς $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}({-1})^n\,n!\left({\frac{e}{n}}\right)^n$ έχουν αντίστοιχα όρια $+\infty$ . Επειδή $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}\left|{({-1})^n\,n!\left({\frac{e}{n}}\right)^n}\right|=\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}n!\left({\frac{e}{n}}\right)^n\stackrel{(1)}{\geq}e\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}\left({\frac{n}{e}}\right)^n\left({\frac{e}{n}}\right)^n=+\infty$ , έπεται ότι η $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}({-1})^n\,n!\left({\frac{e}{n}}\right)^n$ δέν συγκλίνει.

Γιά x=e

, προκύπτει η σειρά $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}n!\left({\frac{e}{n}}\right)^n\stackrel{(1)}{\geq}e\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}\left({\frac{n}{e}}\right)^n\left({\frac{e}{n}}\right)^n=+\infty.\quad\square$

#6

papel έγραψε:Για x=-e παιρνω την σειρα :

$\displaystyle{\sum\limits_{n = 1}^\infty {{{\left( { - 1} \right)}^n} \cdot \frac{{n!}}{{{n^n}}} \cdot } {e^n}}$

η οποια αποκλινει. Η $\displaystyle{{a_{2n}}}$ ειναι αυξουσα γνησια υπακολουθια θετικων ορων.

Νά ξεκαθαρίσω ένα μάλλον τυπικό παρά ουσιαστικό θέμα γιά τήν συγκεκριμένη σειρά πού έχει γνησίως αύξουσα τήν υπακολουθία $\left({({-1})^{2n}a_{2n}}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ τών θετικών της όρων καί γνησίως φθίνουσα τήν υπακολουθία $\left({({-1})^{2n-1}a_{2n-1}}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ τών αρνητικών της όρων.

Μιά εναλλασσόμενη σειρά $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}({-1})^{n}\,a_{n}$ πού έχει, είτε
α) γνησίως αύξουσα τήν υπακολουθία $\left({({-1})^{2n}a_{2n}}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ τών θετικών της όρων καί τήν υπακολουθία $\left({({-1})^{2n-1}a_{2n-1}}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ μή-μηδενική, είτε
β) μή-μηδενική τήν υπακολουθία $\left({({-1})^{2n}a_{2n}}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ καί γνησίως φθίνουσα τήν υπακολουθία $\left({({-1})^{2n-1}a_{2n-1}}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ τών αρνητικών της όρων
αποκλίνει.

Δυναμοσειρά (n! / n^n) x^n

Δυναμοσειρά (n! / n^n) x^n

Re: Δυναμοσειρά (n! / n^n) x^n

Re: Δυναμοσειρά (n! / n^n) x^n

Re: Δυναμοσειρά (n! / n^n) x^n

Re: Δυναμοσειρά (n! / n^n) x^n

Re: Δυναμοσειρά (n! / n^n) x^n

Μέλη σε σύνδεση