Ζευγάρι ακεραίων

#1

Οι αριθμοί α, b είναι θετικοί ακέραιοι.

Αν ισχύει:

$\displaystyle{ a + \sqrt b = \sqrt {15 + \sqrt {216} } }$

να υπολογίσετε το πηλίκο α/b.

#2

#3

Από τη δοθείσα με ύψωση στο τετράγωνο έχουμε $a^2 +b+2a \sqrt{b}=15+2\sqrt{54}$ ή
$2a \sqrt{b}=x+2\sqrt{54}$ , όπου x=15-a^2 -b

. Με ύψωση ξανά στο τετράγωνο προκύπτει
$4a^2 b -x^2 -4 \cdot 54 =2x\sqrt{54}$ . Αν

δεν ήταν μηδέν, θα είχαμε $\sqrt{54}$ ρητός που είναι άτοπο. Άρα x=0

δηλαδή

και τότε από την παραπάνω σχέση έχουμε a^2 b=54

. Άρα

ή

. Επειδή οι a,b

είανι θετικοί ακέραιοι, βρίσκουμε a=3,b=6

άρα $a/b=\frac{1}{2}$

#4