Συναρτησιακή

#1

Έστω $f:R\rightarrow R$ συνεχής συνάρτηση, για την οποία ισχύει

$f(f(f(x)))+f(x)=2x, \forall x \in R$ .
Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης.

#2

Ευκολα βλέπουμε ότι η

είναι 1-1. Ως συνεχής θα είναι γνησίως μονότονη.
Η

δε μπορεί να είναι γνησίως φθίνουσα, διότι τότε και η

$x\mapsto f(f(f(x))+f(x)$

θα ήταν γνησίως φθίνουσα, άτοπο.

Άρα η

πρέπει να είναι γνησίως αύξουσα.

Αν f(a)<a

για κάποιο $a\in \mathbb{R}$ , τότε εύκολα βρίσκουμε ότι

f(f(f(a)))<f(f(a))<f(a)<a

,

άτοπο αφού f(f(f(a)))+f(a)=2a

.

Ομοίως, αν f(a)>a

.

Συνεπώς,

f(x)=x

για κάθε $x\in \mathbb{R}$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας