Ελάχιστο Πολυώνυμο και Τάξη Πίνακα

#1

Έστω

ένας τετραγωνικός πίνακας τάξεως

. Να δειχθεί ότι ο βαθμός του ελάχιστου πολυωνύμου του

είναι το πολύ r+1

.

Φιλικά,

Αχιλλέας

lemonidas · #2

achilleas έγραψε:Έστω ένας τετραγωνικός πίνακας τάξεως . Να δειχθεί ότι ο βαθμός του ελάχιστου πολυωνύμου του είναι το πολύ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

Τι ακριβώς ορίζεις ως "τάξη" πίνακα?

#3

lemonidas έγραψε:
achilleas έγραψε:Έστω  ένας τετραγωνικός πίνακας τάξεως . Να δειχθεί ότι ο βαθμός του ελάχιστου πολυωνύμου του είναι το πολύ .

Φιλικά,

Αχιλλέας
Τι ακριβώς ορίζεις ως "τάξη" πίνακα?

viewtopic.php?f=10&t=5470&hilit=+%CF%84 ... E%BE%CE%B7

lemonidas · #4

Μπορούμε να δουλέψουμε με jordan form. Μια χαρακτηριστική ιδιότητα που συνδέει το ελάχιστο πολυώνυμο και την jordan Μορφή ενός πίνακα είναι ότι αν το ελάχιστο πολυώνυμο περιέχει έναν όρο της μορφής (x-a)^d

τότε στην jordan μορφή υπάρχει ένα block dxd της μορφής:

$\displaystyle{ \left( \begin{array}{ccccc} a & 1 & 0 & 0 \\ 0 & a & 1 &\\ ... & & ... &\\ 0 & & & a\end{array} \right)}$

Τώρα το ελάχιστο πολυώνυμο γράφεται στη μορφή $\Pi (x-a_i)^{d_i}$ , άρα αν θεωρήσουμε μη μηδενικές ιδιοτιμές, ο πίνακας έχει τουλάχιστον $\sum d_i$ ανεξάρτητες στήλες στην κανονική μορφή του και άρα και τάξη τουλάχιστον ίση με το βαθμό του ελάχιστου πολυωνύμου. Τώρα άν κάποιο από τα a_i

είναι μηδέν, θα πάρουμε μια στήλη από όλες μηδενική, οπότε η τάξη του πίνακα είναι τουλάχιστον όσο ο βαθμός του ελάχιστου πολυωνύμου -1.

Άρα σε κάθε περίπτωση αν r' ο βαθμός του ελ. πολυωνύμου, η τάξη του πίνακα θα είναι τουλάχιστον r'-1, οπότε αν r η τάξη του πίνακα, το ελάχιστο πολυώνυμο έχει βαθμό το πολύ r+1...

#5

Άλλη μια απόδειξη: Έστω

ο διανυσματικός χώρος των στηλών του

. Τότε ο

είναι διάστασης

και άρα υπάρχει πολυώνυμο

βαθμού

ώστε

για κάθε $v \in V$ . Θέτω q(x) = xp(x)

. Μπορώ να γράψω κάθε διάνυσμα

σαν

με $v \in V$ και $w \in \ker(A)$ . Αλλά τότε q(A)u = q(A)v + q(A)w = 0

. Άρα το ελάχιστο πολυώνυμο του

είναι βαθμού το πολύ r+1

.

#6

Ευχαριστώ πολύ για τις απαντήσεις σας.

Το πρόβλημα προτάθηκε από τον William P. Wardlaw στο Mathematics Magazine το Νοέμβριο του 1983.

Δυο εξαιρετικές λύσεις, η μια του Wardlaw, δημοσιεύτηκαν ένα χρόνο μετά.

Η λύση του Wardlaw, σε 5 γραμμές, βασίζεται στο ότι μπορούμε να γράψουμε τον $n\times n$ πίνακα

ως

, για κάποιους πίνακες $n\times r$ B και $r \times n$ C.

Αν p(x)

είναι το ελάχιστο πολυώνυμο του $r\times r$ πίνακα

, τότε (όπως εύκολα μπορεί να δειχθεί) Ap(A)=O

.....κ.τ.λ.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Ελάχιστο Πολυώνυμο και Τάξη Πίνακα

Ελάχιστο Πολυώνυμο και Τάξη Πίνακα

Re: Ελάχιστο Πολυώνυμο και Τάξη Πίνακα

Re: Ελάχιστο Πολυώνυμο και Τάξη Πίνακα

Re: Ελάχιστο Πολυώνυμο και Τάξη Πίνακα

Re: Ελάχιστο Πολυώνυμο και Τάξη Πίνακα

Re: Ελάχιστο Πολυώνυμο και Τάξη Πίνακα

Μέλη σε σύνδεση