Αντίφαση ανάμεσα σε δύο παρόμοιες θέσεις......

[xstavros]

Το παρακάτω πρόβλημα ζητά να εντοπιστεί η αντίφαση ανάμεσα στις δύο θέσεις παρόλο που τυπικά είναι πανομοιότυπες και ενώ η θέση Ι είναι σωστή , ενώ η ΙΙ είναι λάθος……

Ι. ΘΕΣΗ
« Από όλα τα εγγεγραμμένα τρίγωνα σε κύκλο το ισόπλευρο είναι το μεγαλύτερο»
1. Αν ΑΒΓ ένα μη – ισόπλευρο τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο έτσι ώστε ΑΒ≠ΑΓ , ας θεωρήσουμε τρίγωνο ΧΒΓ, όπου Χ το σημείο τομής της μεσοκαθέτου της ΒΓ με το τόξο ΒΑΓ.
2. Τότε ΧΒΓ > ΑΒΓ .
3. Έτσι αν έχουμε ένα μη – ισόπλευρο τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο, μπορούμε πάντα να κατασκευάσουμε ένα μεγαλύτερο εγγεγραμμένο τρίγωνο.
4. Οπότε από όλα τα εγγεγραμμένα τρίγωνα σε κύκλο, το ισόπλευρο είναι το μεγαλύτερο.

ΙΙ. ΘΕΣΗ
« Από όλους τους φυσικούς αριθμούς, ο 1 είναι ο μεγαλύτερος»
1. Αν m φυσικός , m ≠ 1 , θεωρούμε τον m2 .
2. Τότε m2 > m .
3. Έτσι , αν έχουμε έναν φυσικό διάφορο του 1 , μπορούμε πάντα να βρούμε έναν μεγαλύτερο φυσικό.
4. Οπότε από όλους τους φυσικούς ο 1 είναι ο μεγαλύτερος.

[xstavros]

όπου m2..... m^2.......

[k-ser]

Μια βιαστική απάντηση:
Στην 1η περίπτωση το σύνολο των εμβαδών των τριγώνων είναι πάνω φραγμένο από το εμβαδό του ισοπλεύρου τριγώνου,
ενώ στη 2η το σύνολο των φυσικών κάτω φραγμένο από το 1.

[chris_gatos]

Eπειδή τόση ώρα το κοιτάζω απο εδώ, το κοιτάζω απο εκεί και αναρωτιέμαι...Μήπως ο συγγραφέας έπρεπε να γράψει
στο ΙΙ, μικρότερος αντί μεγαλύτερος;; Δε βγάζω νόημα.

[dement]

Καλημερα. Θα προσπαθησω να το κανω καπως πιο αφηρημενο. Νομιζω οτι την απαντηση μας τη δινει το θεωρημα

Εστω συμπαγης μετρικος χωρος και συνεχης απεικονιση . Τοτε το εχει μεγιστο στοιχειο.

Αυτο σημαινει πως, αν βρουμε ενα υποσυνολο για το οποιο το δεν εχει μεγιστο στοιχειο, τοτε το 'μεγιστο σημειο' (τουλαχιστον ενα) θα υπαρχει σιγουρα στο .

O χωρος των τριαδων των σημειων επανω στον κυκλο (με την απεικονιση του εμβαδου του αντιστοιχου τριγωνου) ειναι συμπαγης, γι' αυτο και το επιχειρημα στεκει αν παρουμε ως το συνολο των τριαδων που δε σχηματιζουν ισοπλευρο τριγωνο.

Το επιχειρημα στεκει (τετριμμενα) επισης αν παρουμε ενα πεπερασμενο υποσυνολο των φυσικων (με την ταυτοτικη απεικονιση), αφου μεγιστο στοιχειο υπαρχει παντα.

Αν ο δεν ειναι συμπαγης, οπως ο χωρος των φυσικων (με την ταυτοτικη απεικονιση), το επιχειρημα δε στεκει απαραιτητα. Ετσι, παιρνοντας ως , οδηγουμαστε σε εσφαλμενο συμπερασμα. Ενα αλλο παραδειγμα ειναι το συνολο οπου επισης, με ενα αναλογο 'επιχειρημα', μπορουμε να καταληξουμε στο συμπερασμα οτι το ειναι το μεγιστο στοιχειο του.

Δημητρης Σκουτερης

[Demetres]

Πολύ σωστά τα εξηγεί ο Δημήτρης. Θα προσπαθήσω να πω λίγα περισσότερα που ίσως βοηθήσουν για καλύτερη κατανόηση.

Και στις δύο θέσεις ξεκινάμε από ένα σύνολο Χ. Στην μεν πρώτη το σύνολο όλων των εγγεγραμμένων τριγώνων σε κύκλο, στην δε δεύτερη το σύνολο των φυσικών αριθμών. Και στις δύο θέσεις έχουμε μία συνάρτησης . Στην μεν πρώτη f(AΒΓ) είναι το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ, στην δε δεύτερη f(n) = n.

Και οι δύο θέσεις λένε: Αν τότε υπάρχει ώστε , άρα για κάθε y.

Στην δεύτερη θέση φαίνεται ξεκάθαρα ότι το επιχείρημα είναι λάθος. Στην πρώτη θέση, αν και το επιχείρημα φαίνεται σωστό, κάτι λείπει. Αυτό που λείπει είναι ότι υπάρχει κάποιο α στο Χ ώστε η f να λαμβάνει την μέγιστη τιμή στο α. Στην δεύτερη θέση αυτό δεν ισχύει. Στην πρώτη ισχύει από την συνέχεια της f και την συμπάγεια του Χ όπως εξηγεί ο Δημήτρης.