Διάστημα σύγκλισης

mathxl · #1

Να βρεθεί το διάστημα σύγκλισης της δυναμοσειράς

$\displaystyle{\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{6^n}{{\left( {x + 2} \right)}^n}}}{{7{n^4}}}} }$

#2

$R=\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{n\rightarrow{+\infty}}\frac{1}{\sqrt[n]{\frac{6^n}{7n^4}}}=\mathop{\lim}\limits_{n\rightarrow{+\infty}}\sqrt[n]{\frac{7n^4}{6^n}}=\frac{1}{6}\mathop{\lim}\limits_{n\rightarrow{+\infty}}\sqrt[n]{7n^4}=\frac{1}{6}\cdot1=\frac{1}{6}$ .

Γιά $x=-\dfrac{13}{6}$ , προκύπτει η σειρά $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{6^n}{7n^4}\left({-\frac{1}{6}}\right)^n=\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}({-1})^n\,\frac{1}{7n^4}=-\frac{\pi^4}{720}$ .

Γιά $x=-\dfrac{11}{6}$ , προκύπτει η σειρά $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{6^n}{7n^4}\left({\frac{1}{6}}\right)^n=\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{7n^4}=\frac{\pi^4}{630}$ .

Άρα τό σύνολο σύγκλισης τής $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{6^{n}}{7n^4}\,({x+2})^n$ είναι τό $\left[{-\tfrac{13}{6},\,-\tfrac{11}{6}}\right].\quad\square$

Διάστημα σύγκλισης

Διάστημα σύγκλισης

Re: Διάστημα σύγκλισης

Μέλη σε σύνδεση